一元二次方程竹竿进门

导读：　一元二次方程竹竿进门(共5篇)...

一元二次方程竹竿进门(一)
一元二次方程

《一元二次方程》一课的教学片段及反思

建构主义主张的教学方法其核心是强调学习者是一个主动的、积极的知识构造者，教师的教学工作就是要从学生实际出发，以深入了解学生真实的思维活动为基础，通过提供适当的问题情景或实例促使学生的反思，引起学生必要的认知冲突，从而让学生最终通过其主动的建构起新的认知结构 。下面是对“一元二次方程”的教学的一个片段及反思，提供给大家讨论，以更好地探索数学课堂教学的好的方法。

教学片断

【问题一】：在学校附近有一个尚未完工的小区，小区在建设中遇到一个问题：小区准备在每两幢楼之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少?

师：同学们能帮助解决这个问题吗?

生：(独立思考后，同桌交流，举手发言)

生1：解：设绿地的长为x米，则宽为(x－10)米，

根据题意得：x(x－10)＝900

生2：解：设绿地的宽为x米，则长为(x＋10)米，

根据题意得：x(x＋10)＝900

生3：解：设绿地的长为x米，宽为y米，根据题意得：

生：„„„„

师：(引导学生利用换元法把二元方程组逐步向一元方程进行转化，使学生的注意力放到一元方程上，同时引导学生通过变形得出：x2－10x－900＝0 和x2＋10x－900=0两个方程) 师：同学们回答的非常好，你们利用方程的知识解决了这个实际问题。

【问题二】：有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，可急坏了醉汉，他该怎么办呢?

生：(课堂气氛活跃，学生争先发言)

生1：从房顶上扔进去!

生2：截断后，拿进去!

生3：将竹竿垂直门所在的平面就可以拿进去。(配合动作)

生；„„

师：同学们想出了这么多的方法，那我们来看看这个醉汉是用什么方法把竹竿拿进

去的。 就在醉汉不知道如何处理时，来了一个秀才，他告诉醉汉；沿着门的两个对角斜着拿竹竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去，你知道竹竿有多长吗?„„这里给大家提了一个什么问题呢?你们能解决吗？

生：求竹竿的长度！(齐声回答)

师：要求竹竿的长度，那么在这个问题中，给大家提供了哪些信息呢? 生；(经过短暂思考后，纷纷举手回答)竹竿横比门框宽4尺，竖比门框高2尺。 师：完全正确！那你们准备如何求出竹竿的长度呢?

生：(分组讨论，气氛热烈)

师：哪个小组的同学愿意说一说?

组1：解：设竹竿长x尺，根据题意得：(x－4)2+(x－2)2＝x2

组2：解：设门高x尺，宽(x－2)尺，竹竿(x＋2)尺，

根据题意得：x2+(x－2)2＝(x＋2)2

师：(引导学生对方程进行适当整理，得x2－12x＋20=0，x2－8x=0等方程)

师：(适当总结，提出问题)今天我们在解决实际问题的过程中，得出了这样几个方程： （在黑板上写下）x2－10x－900=0，x2＋10x－900=0，x2－12x＋20=0， x2－8x＝0 师：它们是一元一次方程吗?

生：（众）不是!

师：它们和一元一次方程有何相同点?有什么不同点呢?你能给它们命名吗?

生：(组内充分讨论、交流、总结并回答)

生：相同点有两个：(1)它们都是整式方程(2)都含有一个未知数。不同点是这些方程中未知数的最高次数是2，而一元一次方程的未知数最高次数是1，所以我们可以给它起名叫一元二次方程。

师，大家认为他回答的怎么样?

生：好!(情不自禁为其鼓掌)

师：(给予肯定和表扬，赞许的目光投向这位学生)这就是我们今天来学习的一类新方程：一元二次方程。(板书课题：一元二次方程 一元二次方程的概念)

师：现在让我们再来看这几个方程：

x2－10x－900=0，x2＋10x－900=0，x2－12x＋20=0，x2－8x＝0

师：它们都是一元二次方程，那它们有什么共同点呢?

生：(独立思考，并试着用自己的语言进行描述，然后进行小组交流)

生1：方程的右边都是0，左边都含有未知数x的二次方的项。

生2：方程x2－8x＝0可化成x2－8x＋0=0的形式，所以这几个方程左边都可以化为关于未知数x的二次三项式。

师：那么这个方程的左边也能化成关于x的二次三项式吗? (x2－3＝0) 生2：能! x2－3=0可化为x2＋0x－3=0的形式．

师：回答的非常好! (教师适当总结)

(板书)一元二次方程的一般形式 ax2＋bx＋c=0 （a≠0）

师：请同学们再思考下面的两个问题

思考题：(1)关于x的方程ax2＋bx＋c=0是一元二次方程吗?

(2)关于x的方程3x2＋6=mx2是一元二次方程的条件是什么?

生：(独立思考，回答问题)

师：(适当总结，强调一般形式中a不为0的条件)

至此，学生对一元二次方程概念的理解基本结束了。我认为数学教学要以提高学生的数学素质为指导思想，以学生积极参与教学活动为目标，以探索概念的过程和展开思维分析为主线，在课堂教学中，教师充分调动学生的一切因素，让学生在和谐、愉悦的氛围中获取知识、掌握方法。

探索新课改下的数学课堂教学模式，优化数学课堂教学结构，还是一个长期而艰苦的工作。我坚信只要我们不断地创新，大胆地探索，就一定能取得好的教学效果．

一元二次方程竹竿进门(二)
一元二次方程应用题练习含答案

一．选择题（共10小题）

1．（2013•湛江）由于受H7N9禽流感的影响，今年4月份鸡的价格两次大幅下降．由原来每斤12元连续两次降价

2．（2013•黔西南州）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月

3．（2013•平凉）某超市一月份的营业额为

36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列4．（2013•兰州）据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7600/m，2013

年同期将达到8200/m，假设这两年兰州

5．（2013•昆明）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进

2行绿化，要使绿化面积为7644米

，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ） 22

6．（2012•泰州）某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x

，7

．（2012•庆阳）某中学准备建一个面积为375m的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10m．设游泳池的长为xm，

8．（2012•兰州）某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则【一元二次方程竹竿进门】

9．（2011•兰州）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送

10．（2010•莆田）在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方2

二．解答题（共4小题）

11．从前一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，有个人教他沿着门的两个对角斜着拿竹竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去，你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．

12．某校准备组织一次排球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，共有多少个队参加？设有x个队参赛，则所列方程为 _________ ．

13．（教材变式题）如图所示，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，

2如果要使整个挂图的面积是5400cm，设金色纸边的宽为xcm，求满足x的方程．

14．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．

（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x．

（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x．

（3）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x．

2014年5月崛起王者的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．（2013•湛江）由于受H7N9禽流感的影响，今年4月份鸡的价格两次大幅下降．由原来每斤12元连续两次降价

2．（2013•黔西南州）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月

3．（2013•平凉）某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列

5．（2013•昆明）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进

2行绿化，要使绿化面积为7644米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）

6．

（2012•泰州）某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，

8．（2012•兰州）某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则

9．（2011•兰州）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送

10．（2010•莆田）在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方

一元二次方程竹竿进门(三)
一元二次方程学案

一元二次方程导学案

花边有多宽（1）

学习目标：

1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。

2、会识别一元二次方程及各部分名称。 一、自主探究 活动内容：

问题一：一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为８m，宽为５m．地毯中央长方形图案的面积为１８m。

根据这一情境，结合已知量你想求哪些量？你能根据条件列出关于这个量的什么关系式？

问题二：你能找到关于10、11、12、13、14这五个数之间的等式吗？ 得到等式10+11+12=13+14之后你的猜想是什么？

根据猜想继续找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。

问题三：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米？

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

二、总结归纳 活动内容：

归纳一元二次方程的概念：结合上面三个问题得到的三个方程，观察它们的共同点，得到一元二次方程的概念及其各部分的名称。

一元二次方程概念：含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式方程。 经过整理后，一个一元二次方程可化简为ax+bx+c=0(a≠0)，即它的一般形式：ax+bx+c=0(a≠0)。

应从两方面理解一元二次方程的一般形式：(1)若axbx+c=0是一元二次方程，则有a≠0； (2) 若a≠0(b、c可以为零)，则ax+bx+c=0是一元二次方程。

判断一个方程是不是一元二次方程，满足三个条件：①含有一个未知数并且未知数的最高次数是2;②必须是整式方程；③二次项系数不能为零。简而言之是指经化简后，若符合ax+bx+c=0(a≠0) ，则为一元二次方程，否则不是。 三、学以致用 活动内容：

1、把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．

2．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程． 易错易混点

2

1. 下列关于x的方程：(1) ax+bx+c=0 ；(2)a

2

2

2+

2

2

2

3

5；(3)2x2x30；a

(4)x2xx0中，一元二次方程的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

32

2. 判断方程m(x+m)+2x=x(x+2m)-1是不是关于x的一元二次方程。

(1)一变：若方程m(x+m)+2x=x(x+2m)-1是关于x的一元二次方程，则m应满足_________。

(2) 二变：若方程m(x+m)+2x=x(x+2m)-1是关于x的一元一次方程，则m的值为__________。

3. m为何值时，关于x的方程m1xm13mx20是一元二次方程？

2

22

22

22

四，课堂小练

【基础训练】（100分）【一元二次方程竹竿进门】

1、一元二次方程的一般形式是_________________（a，b，c为常数，a≠０）二次项系数、一次项系数、常数项分别是_____,______,______. 2、填表

3、请在一元二次方程的后面打“√”

(1)7x－6x＝0 （ ） (2)2x－5xy＋6y＝0 （ ） (3)2x－

22

2

122

－1 ＝0 （ ） (4)x＋2x－3＝1＋x（ ） 3x

4、如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？(只列方程)

5．一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为8m，宽为5m．如果地毯中央长方形图案的面积为18m ，则花边多宽? (只列方程)

五、反思总结 活动内容：

让学生通过本节课的学习，自己归纳本节的知识要点，学会了什么？还有哪些困惑？ 课后练习：

1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. ax+bx+c=0 B. kx+5k+6=0 C.

2

22

321xx0 D. (m2+3)x2+2x-2=0 342

2. 若下列方程是关于x的一元二次方程，求出m的取值范围。 (1) 2m1xm1x5； (2) m1x

2

4m2

27mx30

3. 某城市2003年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2005年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（ ）

A. 300(1+x)=363 B. 300(1+x)=363 C. 300(1+2x)=363 D. 363 (1-x)=300 4. 某种产品，原来每件产品成本是700元，由于连续两次降价，现在成本为448元，如果每次降低成本的百分数相同，求每次降低成本百分之多少？若设每次降低成本的百分数为x，则第一次降低成本后的成本为___________，第二次降低成本后的成本为____________，这样可列方程得__________________。

5. 已知：直角三角形的周长为2，斜边上的中线长为1

，试求这个直角三角形

2

2

的面积。

6. 如图 Y2—01①所示，用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成如图Y2—01②所示的底面积为1500cm的没盖的长方体盒子。想一想：应怎样求出截去的小正方形的边长？

若设小正方形的边长为x cm，那么这个盒子的底部的长及宽分别为

_______________cm和________cm，根据题意，可得方程__________________整理成一般形式得________________。

花边有多宽（2）

学习目标：

1、结合上一节课的实际问题中所建立的一元二次方程模型，继续深化对一元二次方程的认识。

2、经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力。 一、复习回顾

活动内容：在上一节课中，我们得到了如下的两个一元二次方程：

2

Y2—01

82x52x18，即：2x213x110；

x6272102，即：x212x150。

发现一元二次方程在现实生活中具有同样广泛的应用。上一节课的两个问题是否已经得以完全解决？你能求出各方程中的x吗？ 一， 情境引入

活动内容：1、在前一节课的问题中，我们若设地毯花边的宽为x(m)，得到方程：

一元二次方程竹竿进门(四)
一元二次方程解法

课题：16.1一元二次方程（1）

课标要求： 说明要求： 学习目标： 学习重点： 学习难点： 学习过程：

一．问题引领，合作探究

1.只含 ，并且 是2次，这样的整式方程叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的标准形式为 ，其中 叫做二次项， 叫做一次项、 叫做常数项. 看看你的预习效果：

3. 一元二次方程2x=x(x-5)化成标准形式为 ，其中二次项为 ， 一次项为 ，常数项为 ． 4.下列方程是一元二次方程的有 .

22

（1）10x=9 (2)2(x-1)=3x (3)2x-3x-1=0 (4) 2x0

1、列出下列问题中关于未知数x的方程： （学生自主探索，并互相交流，自己列出方程）【一元二次方程竹竿进门】

(1)把面积为12平方米的长方形分割成正方形和长方形两个部分，若小长方形的宽是1米，求正方形的边长。

设正方形的边长为x,可列出方程_________________；

(2)据国家统计局公布的数据，浙江省2006年全省实现生产总值6万亿元，2008年生产总值达86400亿元，求浙江省这两年实现生产总值的年平均增长率。 设年平均增长率为x，可列出方程_________________；

(3)从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺.另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了.你知道竹竿有多长吗？

设竹竿为x尺，可列出方程_________________。

2、观察上面所列方程，说出这些方程与一元一次方程的共同和不同之处.

3、判断未知数的值x=-1, x=0, x=2是不是方程x2x

的根。

4. 一元二次方程概念的延伸

思考：一元二次方程很多吗?你有办法一下写出所有的一元二次方程吗? 一元二次方程的一般形式是 (a≠0) 方程中ax、bx、c各项的名称及a、b的系数名称分别是什么？

二．例题精选，学法指导

例1：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次 项系数、常数项：

2

2

(1)9x254x; (2)3y21; (3)4x25; (4)(2x)(3x4)3.

例2．关于x的方程(m1)x(m1)x3m20,（1）当m为何值时方程为一元一次方程；（2）当m为何值时方程为一元二次方程。

2

三．知识迁移，拓展训练

例3．m为何值时,关于x的方程(2m2m3)xm15x13为一元二次方程.

四．反馈练习 分层达标

(1)本节课主要介绍了一类很重要的方程 方程（熟记定义）；

(2)要知道一元二次方程的一般形式，并且注意一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多 项、其中 、 可以不出现，但 必须存在。特别注意的是“＝”的右边必须整理成0；

(3)要很熟练地说出任意一个一元二次方程中二次项、一次项、常数项。 1.（1）若关于x的方程x-kx=7+k的一个根为2，则k= .

（2）若关于x的一元二次方程x-kx+8=0的一个根为1，则k= .

2. 把下列方程化成一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项： ①（x-2）(x+1)=-2 ②（2x-1）- (x+1)=1 ③3x=（2x-1）(x-3)

④（x-2）(x+2)=x ⑤2x-5 =3x

2

2

2

2

2

2

五．中考链接，明确方向

若一元二次方程ax+bx+c=0中的各项系数满足a-b+c=0，则方程必有一个根是 . 2

六．作业分层，各有所获

课改第 页 A基础扫描 B

七．反思小结，完善认知

能力提升 C

敢于挑战 全 中考链接

课标要求： 说明要求： 学习目标： 学习重点： 学习难点： 学习过程：

一．问题引领，合作探究

探索：请你和同学一起来探讨如何解下列方程： （1）x2

＝4； （2）x2

－1＝0;

归纳什么是直接开平方法；

二．例题精选，学法指导 例1

解下列方程：

（1）x2

－2＝0; （2）16x2

－25＝0.

2、练习：解下列方程：

（1） x2＝169； （2）x2－7=0 （3）45－x2＝0；

(4) 12y2

－25＝0 (5)16x2

－49=0 (6)2x2

－32=0

一元二次方程竹竿进门(五)
第二章 一元二次方程复习提纲2

2、增长（降低）率的有关问题：

例1、某商品原价200元，连续两次降价a％后售价为148元，求平均每次下调的百分率。 （练习题）某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售。求平均每次下调的百分率。

例2、据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2011年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2013年的利用率提高到60%，求每年的增长率。(

≈1.41) 总结： 正增长率问题，可利用公式m(1+x)＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率（即降低

2率）问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)＝n即可求解，其中m＞n. 2

3、商品定价

例题： 益群精品店以每件40元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价50元，则可卖出500件，销售单价每增长1元，月销量就减少10件，商店计划要在销售成本不超过1万元的情况下，使得月利润达到8000元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？

4、动态几何问题

例题： 如图4所示，在△ABC中，∠C＝90?/SPAN>，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.

（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？

（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由。

三、储蓄问题

例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）

解 设第一次存款时的年利率为x.

则根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x2+145x－3＝0.

解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数，

所以将x2≈－1.63舍去.

答 第一次存款的年利率约是2.04%.

说明 这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税.

四、趣味问题

例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？

解 设渠道的深度为xm，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m. 则根据题意，得

0. (x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝

解这个方程，得x1＝－1.8（舍去），x2＝1.

所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5.

答 渠道的上口宽2.5m，渠深1m.

说明 求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.

五、古诗问题

例5 读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.

大江东去浪淘尽，千古风流数人物；

而立之年督东吴，早逝英年两位数；

十位恰小个位三，个位平方与寿符；

哪位学子算得快，多少年华属周瑜？

解 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x－3.

则根据题意，得x2＝10(x－3)+x，即x2-11x+30＝0，解这个方程，得x＝5或x＝6.

当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；

当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.

答 周瑜去世的年龄为36岁.

说明 本题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从中认真口味.

六、象棋比赛

例6 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.

解 设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n－1)个选手比赛一局，共计n(n－1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为n(n－1)局.由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n－1)分.显然(n－1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n(n－1)＝1980，得n2－n－1980＝0，解得n1＝45，n2＝－44（舍去）.

答 参加比赛的选手共有45人.

说明 类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解.

七、情景对话

例7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？

八、等积变形

例8 将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）

（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.

（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.

以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.

解 都能.（1）设小路宽为x，则18x+16x－x2＝

＝0， ×18×15，即x2－34x+180

解这个方程，得x＝，即x≈6.6.

（2）设扇形半径为r，则3.14r2＝×18×15，即r2≈57.32，所以r≈7.6.

说

明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等等.

九、动态几何问题

例9 如图4所示，在△ABC中，∠C＝90?/SPAN>，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.

（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？

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