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高中数学第一轮免费下载(一)
高中数学一轮复习(全)

集合

考试内容：

集合、子集、补集、交集、并集．

逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求：

（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．

（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．

01. 集合与简易逻辑 知识要点

一、知识结构:

本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：

二、知识回顾：

（一） 集合

1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：

①任何一个集合是它本身的子集，记为AA； ②空集是任何集合的子集，记为A； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果AB，同时BA，那么A = B.

如果AB，BC，那么AC.

[注]：①Z= {整数}（√） Z ={全体整数} （³）

②已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（³）（例：S=N； A=N，则CsA= {0}）

③ 空集的补集是全集.

④若集合A=集合B，则CBA = ， CAB =  CS（CAB）= D （ 注 ：CAB = ）. 3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集. ②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R

二、四象限的点集.

③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例：  解的集合{(2，1)}.

2x3y1

②点集与数集的交集是. （例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则A∩B =） 4. ①n个元素的子集有2n个. ②n个元素的真子集有2n －1个. ③n个元素

的非空真子集有2n－2个.

5. ⑪①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题逆否命题. 例：①若ab5，则a2或b3应是真命题.

解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. ②

x1且y2 xy3. 解：逆否：x + y =3

x1且y2

xy3

x = 1或y = 2.

xy3,故xy3是x1且y2的既不是充分，又不是必要条件.

⑫小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3. 例：若x5，x5或x2. 4. 集合运算：交、并、补.

交：AB{x|xA,且xB}并：AB{x|xA或xB} 补：CUA{xU,且xA}

5. 主要性质和运算律 （1） 包含关系：

AA,A,AU,CUAU,

AB,BCAC;ABA,ABB;ABA,ABB.

（2） 等价关系：ABABAABBCUABU （3） 集合的运算律：

交换律：ABBA;ABBA.

结合律:(AB)CA(BC);(AB)CA(BC) 分配律:.A(BC)(AB)(AC);A(BC)(AB)(AC) 0-1律：A,AA,UAA,UAU 等幂律：AAA,AAA.

求补律：A∩CUA=φ A∪CUA=U CUU=φ CUφ=U

反演律：CU(A∩B)= (CUA)∪(CUB) CU(A∪B)= (CUA)∩(CUB) 6. 有限集的元素个数

定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.

基本公式：

(1)card(AB)card(A)card(B)card(AB)(2)card(ABC)card(A)card(B)card(C)

card(AB)card(BC)card(CA)card(ABC)

(3) card(CUA)= card(U)- card(A)

(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

1.整式不等式的解法 根轴法（零点分段法）

①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)„(x-xm)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便) ②求根，并在数轴上表示出来；

③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；

④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.

x

（自右向左正负相间）

则不等式a0xna1xn1a2xn2an0(0)(a00)的解可以根据各区间的符号确定.

特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；

22.分式不等式的解法 （1）标准化：移项通分化为式，

f(x)f(x)f(x)g(x)0 （2）转化为整式不等式0f(x)g(x)0;0g(x)0

g(x)g(x)

f(x)f(x)f(x)f(x)

>0(或<0)； ≥0(或≤0)的形g(x)g(x)g(x)g(x)

3.含绝对值不等式的解法

（1）公式法：axbc,与axbc(c0)型的不等式的解法.

（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.

（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) （1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之. （2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之. （三）简易逻辑

1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题： “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。

构成复合命题的形式：p或q(记作“p∨q” )；p且q(记作“p∧q” )；非p(记作“┑q” ) 。 3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断

互逆原命题逆命题

（1）“非p”形式复合命题的真假与F的真若p则q若q则p

否假相反； 互

（2）“p且q”形式复合命题当P与q同为否否逆

真时为真，其他情况时为假； 逆否命题

（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为否命题

若┐q则┐p若┐p则┐q互逆

假时为假，其他情况时为真．

4、四种命题的形式：

原命题：若P则q； 逆命题：若q则p；

否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p。

(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；

(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题． 5、四种命题之间的相互关系：

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题逆否命题)

①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。

6、如果已知pq那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。

若pq且qp,则称p是q的充要条件，记为p⇔q.

7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理„)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

课后习题

一．选择题

1．满足条件{1,2,3}M{1,2,3,4,5,6}的集合M的个数是（ ）

A、8 B、7

C、6 D、5

2．若集合Ax|x20，则下列结论中正确的是（ ）

A、A=0 B、0A C、A D、A

1,2,0，3．下列五个写法中①00,1,2，②0，③0,1,2④0，



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高中数学第一轮复习系列1-集合

第 1章 集合的概念与运算

一、高考考纲要求

1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.

2．能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.

3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.

4．在具体情境中，了解全集与空集的含义.

5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.

6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.

7．能使用韦恩图（Venn）表达集合的关系及运算.

二、知识网络结构

三、高考命题预测

有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。

预测2009年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为：

（1）题型是1个选择题。

（2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。

（3）定义新运算在集合方面是一个新的命题背景，应予与重视。

四、高考复习指导

本章内容在高考中以考查空集与全集的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，集合的交、并、补运算为重点，以上内容又以集合的运算为重点考查内容.逻辑联结词与充要条件这部分，以充要条件为重点考查内容.

本章内容概念性强，考题大都为容易的选择题，因此复习中应注意：

1．复习集合，可以从两个方面入手，一方面是集合的概念之间的区别与联系，另一方面是对集合知识的应用.

2．主要是把握集合与元素、集合与集合之间的关系，弄清有关的术语和符号，特别是对集合中的元素的属性要分清楚.

3．集合多与函数、方程、不等式有关，要注意知识的融会贯通.

第1讲 集合的概念

一、考纲研读

1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；

2．能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；

3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；

4．在具体情境中，了解全集与空集的含义。

二、知识梳理

1．集合：某些指定的集在一起成为集合。

（1）集合中的对象称 ，若a是集合A的元素，记作aA；若b不是集合A的元素，记作bA；

（2）集合中的元素必须满足： 、 与 ；

确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；

互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；

无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；

（3）表示一个集合可用 、 或 ；

列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；

描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（4）常用数集及其记法：

非负整数集（或自然数集），记作 ；正整数集，记作 ；

整数集，记作 ；有理数集，记作 ；实数集，记作 。

2．集合的包含关系：

（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的 （或B包含A），记作AB（或AB）；

集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若AB且BA，则称A等于B，记作A=B；若AB且A≠B，则称A是B的 ，记作AB；

（2）简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有 个子集（其中2n－1个真子集）；

三、考点难点整合

考点1 集合中元素的正确识别

[知识归纳]识别集合的元素关键是看竖线前面的符号是什么

[考点分析] 考查考生对集合概念的认识和理解

[例1]（2006陕西）已知集合P={x∈N|1≤x≤10}，Q={x∈R|x2+x－6=0}， 则P∩Q等于( )

A． {2} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3}

[解析] 已知集合P={x∈N|1≤x≤10}={1，2，3，……，10}，集合Q={x∈R | x2+x－6=0} ={3,2}， 所以P∩Q等于{2} ，选A．

[答案] A

巩固训练1

1-1．（拓展题）若集合M＝{0，l，2}，N＝{(x，y)|x－2y＋1≥0且x－2y－1≤0，x，y ∈M}，则N中元素的个数为( )

A．9 B．6 C．4 D．2

1-2．（易错题）设集合A{x|x1

2k1

4,kZ}，若x9

2，则下列关系正确的是（ ）

A．xA B．xA C．{x}A D．{x}A

考点2 集合相等的含义及其运用

[知识归纳]集合相等要求集合里面的元素要完全一样。

[考点分析] 考查考生对集合相等概念的理解.

[例2]已知A={2,x,},B={2x,2 },A=B,在x=（ ）

A．0 B．1 C．2 D．2

[解析]利用集合相等的定义

[答案] A

巩固训练2

2-1．（拓展题）(2007江苏) 设a,bR，集合{1,ab,a}{0,b

a,b}，则ba（ ）

A．1 B．1 C．2 D．2

考点3 子集的考察

[知识归纳]集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或AB）。

[考点分析] 考察学生对集合子集概念的理解，注意求真子集时千万不要忘记空集是任何非空集合的真子集。同时，A不是A的真子集。

[例3]（2000广东）已知集合A={1，2，3，4}，那么A的真子集的个数是（ ）

A．15 B．16

4C．3 D．4 [解析]根据子集的计算应有2－1=15（个）。

[答案]A【高中数学第一轮免费下载】

巩固训练3

3-1．(拓展题)设集合M={a,b}，则满足M∪N{a,b,c}的集合N的个数为（ ）

A．1 B．4 C．7 D．8

3-2．（易错题）（2008湖南）设集合A(x,y)y2x，B(x,y)ya,aR，则集合AB的子集个数最多有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【高中数学第一轮免费下载】

四、高考真题回放

[真题1]（2006江西）已知集合M＝｛（x，ｙ）｜x＋ｙ＝2｝，N＝｛（x，ｙ）｜x－ｙ＝4｝，那么集合M∩N为（ ）

A.x=3，y=－1 B.（3，－1） C.{3，－1} D.{（3，－1）}

[剖析]元素是点，交集是两直线的交点，解由x＋ｙ＝2与x－ｙ＝4组成的方程组即可。

[答案] D

[点评]要注重元素符号的理解。

222[真题2]（2006全国）设集合M＝{(x,y)|x＋y＝1,x∈R,y∈R}，N＝{(x,y)|x－y＝0,x∈R,y

∈R}，则集合M∩N中元素的个数为（ ）

A .1 B .2 C. 3 D. 4

[剖析]元素是点，交集是圆和抛物线的交点，解方程组或作图即可。

[答案]B

[点评]对集合的元素符号要有正确理解

[真题3]（2006年辽宁）设集合A{1,2},则满足AB{1,2,3}的集合B的个数是（ ）

A . 1 B. 3 C. 4 D. 8

[剖析] A{1,2}，AB{1,2,3}，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合A{1,2}的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有24个。 2

[答案]C

[点评] 本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想。

[真题4]（2006年上海）已知A{1,3,m}，集合B{3,4}，若BA,则实数m___。

[剖析] 因为BA，所以B是A的子集，所以B的元素出现在A里面。

[答案]4

[点评]考查了子集的概念

[真题4]（2008广东）第29届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A=｛参加北京奥运会比赛的运动员｝，集合Ｂ＝｛参加北京奥运会比赛的男运动员｝，集合Ｃ＝｛参加北京奥运会的女运动员｝，则下列关系正确的是（ ）

Ａ．ＡＢ Ｂ．ＢＣ Ｃ．ＢＣ＝Ａ Ｄ．ＡＢ＝Ｃ

[剖析]由并集的定义知道ＡＢ＝Ｃ

[答案]Ｃ

[点评]考查了并集的概念

五、高考实战演练

一、选择题

1．（2006山东）定义集合运算：A⊙B=﹛z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B﹜,设集合A (0,1),B (2,3),则集合A⊙B的所有元素之和为（ ）

A . 0 B. 6 C. 12 D. 18

2，则满足AB1，2，3的集合B的个数是（ ） 2．（2006辽宁）设集合A1，

Ａ．1 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．8

3．（2008福建）若集合A={x|x2-x＜0},B={x|0＜x＜3},则A∩B等于（ ）

A.{x|0＜x＜1} B.{x|0＜x＜3} C.{x|1＜x＜3} D.￠

4．下列四个集合中，是空集的是( )

A .{x|x33} B.{(x,y)|yx,x,yR}C. {x|xx} D .{x|xx10}. 2222

5．已知集合M=｛a, a+1,-3｝, N=｛a-3, 2a-1, a+1｝, 若M∩N=｛-3｝, 则a的值是 ( )

A. -1 B. 0 C. 1 D . 2

二、填空题

6．已知全集U1,2,3,4,5，A1,3，B2,3,4，那么A(CUB) ___7．（2007深圳调研）已知集合A={0，2，4}，B={x|x=ab且a∈A，b∈A}，则集合B的子集个数是

8．高一（1）班同学组成的集合A，高一年级同学组成的集合B，则A、B的关系为 .

三、解答题

329．已知全集S{1,3,xx2x}，A={1,2x1}如果CSA{0}，则这样的实数x是否22

存在？若存在，求出x，若不存在，说明理由。

10．已知集合A{m,md,m2d},B{m,mq,mq2}， 其中m0,且AB,求q的值。

第2讲 集合的基本运算

一、考纲研读

1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；

2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；

3．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

二、知识梳理

（1）交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集，

记为 ，即A∩B={x|x∈A且x∈B}.

（2）并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的

并集，记为 ，即A∪B={x|x∈A或x∈B}.

（3）补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即AS），由S中所有不属于A

的元素组成的集合，叫做子集A在全集S中的补集（或余集），记为 ， 即S A={x|x∈S且xA}.

三、考点难点整合

考点1 交集的应用

[知识归纳]交集就是取集合的公共元素

[考点分析] 考查考生对集合交集认识和理解

[例1] （1）设集合A=x2x1＜3，B=x3＜x＜2，则AB等于（ ）

A．x3＜x＜2 B. x＜x＜2 C. xx＞3 D. xx＜1

[解析] 集合A=x2x1＜3＝｛x|x1｝，借助数轴易得选A

[答案] A

巩固训练1

1-1．（拓展题）设集合A{x|1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B=（ ）

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第一章 集合

第一节 集合的含义、表示及基本关系

A组

1．已知A＝{1,2}，B＝{x|x∈A}，则集合A与B的关系为________．

解析：由集合B＝{x|x∈A}知，B＝{1,2}．答案：A＝B

2．若∅{x|x2≤a，a∈R}，则实数a的取值范围是________．

解析：由题意知，x2≤a有解，故a≥0.答案：a≥0

3．已知集合A＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合B＝{x|－2≤x<8}，则集合A与B的关系是________．

解析：y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2≥－2，∴A＝{y|y≥－2}，∴BA.

答案：BA

4．(2009年高考广东卷改编)已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N

2＝{x|x＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是________．

解析：由N={x|x2+x=0}，得N={-1,0}，则NM.答案：②

5．(2010年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|x>a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．

解析：命题“x∈A”是命题“x∈B” 的充分不必要条件，∴AB，∴a<5. 答案：a<5

6．(原创题)已知m∈A，n∈B，且集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2a＋1，a∈Z}，又C＝{x|x＝4a＋1，a∈Z}，判断m＋n属于哪一个集合？

解：∵m∈A，∴设m＝2a1，a1∈Z，又∵n∈B，∴设n＝2a2＋1，a2∈Z，∴m＋n＝2(a1＋a2)＋1，而a1＋a2∈Z，∴m＋n∈B.

B组

abab1．设a，b都是非零实数，y＝可能取的值组成的集合是________． |a||b||ab|

解析：分四种情况：(1)a>0且b>0；(2)a>0且b<0；(3)a<0且b>0；(4)a<0且b<0，讨论得y＝3或y＝－1.答案：{3，－1}

2．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B⊆A，则实数m＝________.

222解析：∵B⊆A，显然m≠－1且m≠3，故m＝2m－1，即(m－1)2＝0，∴m

＝1.答案：1

3．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是________个．

解析：依次分别取a＝0,2,5；b＝1,2,6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P＋Q＝{1,2,6,3,4,8,7,11}．答案：8

4．已知集合M＝{x|x2＝1}，集合N＝{x|ax＝1}，若NM，那么a的值是________．

解析：M＝{x|x＝1或x＝－1}，NM，所以N＝∅时，a＝0；当a≠0时，x1＝＝1或－1，∴a＝1或－1.答案：0,1，－1 a

5．满足{1}A⊆{1,2,3}的集合A的个数是________个．

解析：A中一定有元素1，所以A有{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．答案：3

1b1c16．已知集合A＝{x|x＝a＋，a∈Z}，B＝{x|x＝，b∈Z}，C＝{x|x＝，62326

c∈Z}，则A、B、C之间的关系是________．

解析：用列举法寻找规律．答案：AB＝C

7．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x<a}，则“A⊆B”是“a>5”的________．

解析：结合数轴若A⊆B⇔a≥4，故“A⊆B”是“a>5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件

8．(2010年江苏启东模拟)设集合M＝{m|m＝2n，n∈N，且m<500}，则M中所有元素的和为________．

解析：∵2n<500，∴n＝0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M中所有元素的和S＝1＋2＋22＋„＋28＝511.答案：511

9．(2009年高考北京卷)设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．

解析：依题可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：6

10．已知A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，试求x，y的值．

解：由lg(xy)知，xy>0，故x≠0，xy≠0，于是由A＝B得lg(xy)＝0，xy＝1.

1∴A＝{x,1,0}，B＝{0，|x|，}． x

1于是必有|x|＝1，x≠1，故x＝－1，从而y＝－1. x

11．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，

(1)若B⊆A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；

(2)若A⊆B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；

(3)若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围．

解：由A＝{x|x2－3x－10≤0}，得A＝{x|－2≤x≤5}，

(1)∵B⊆A，∴①若B＝∅，则m＋1>2m－1，即m<2，此时满足B⊆A.

m＋1≤2m－1，②若B≠∅，则－2≤m＋1，

2m－1≤5. 解得2≤m≤3.

由①②得，m的取值范围是(－∞，3]．

2m－1>m－6，(2)若A⊆B，则依题意应有m－6≤－2，

2m－1≥5.

∴m的取值范围是[3,4]．

m>－5，解得m≤4，m≥3. 故3≤m≤4，

m－6＝－2，(3)若A＝B，则必有解得m∈∅.，即不存在m值使得A＝B. 2m－1＝5，

12．已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}．

(1)若A是B的真子集，求a的取值范围；

(2)若B是A的子集，求a的取值范围；

(3)若A＝B，求a的取值范围．

解：由x2－3x＋2≤0，即(x－1)(x－2)≤0，得1≤x≤2，故A＝{x|1≤x≤2}， 而集合B＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，

(1)若A是B的真子集，即AB，则此时B＝{x|1≤x ≤ a}，故a>2.

(2)若B是A的子集，即B⊆A，由数轴可知1≤a≤

2.

(3)若A=B，则必有a=2

第二节 集合的基本运算

A组

1．(2009年高考浙江卷改编)设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩∁UB＝____.

解析：∁UB＝{x|x≤1}，∴A∩∁UB＝{x|0<x≤1}．答案：{x|0<x≤1}

2．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有________个．

解析：A∩B＝{4,7,9}，A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，∁U(A∩B)＝{3,5,8}．答案：3

3．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝________.

解析：由题意知，N＝{0,2,4}，故M∩N＝{0,2}．答案：{0,2}

4．(原创题)设A，B是非空集合，定义AⓐB＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，则AⓐB＝________.

解析：A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[0,2]，所以AⓐB＝(2，＋∞)．

答案：(2，＋∞)

5．(2009年高考湖南卷)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．

解析：设两项运动都喜欢的人数为x，画出韦恩图

得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3，∴喜爱篮球运动但

不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)．答案：12

6．(2010年浙江嘉兴质检)已知集合A＝{x|x>1}，集

合B＝{x|m≤x≤m＋3}．

(1)当m＝－1时，求A∩B，A∪B；

(2)若B⊆A，求m的取值范围．

解：(1)当m＝－1时，B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝{x|x≥－1}．(2)若B⊆A，则m>1，即m的取值范围为(1，＋∞)

B组

1．若集合M＝{x∈R|－3<x<1}，N＝{x∈Z|－1≤x≤2}，则M∩N＝________.

解析：因为集合N＝{－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－1,0}．答案：{－1,0}

2．已知全集U＝{－1,0,1,2}，集合A＝{－1,2}，B＝{0,2}，则(∁UA)∩B＝________.

解析：∁UA＝{0,1}，故(∁UA)∩B＝{0}．答案：{0}

3．(2010年济南市高三模拟)若全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－3x≤0}，则M∩(∁UN)＝________.

解析：根据已知得M∩(∁UN)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<0或x>3}＝{x|－2≤x<0}．答案：{x|－2≤x<0}

4．集合A＝{3，log2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________.

解析：由A∩B＝{2}得log2a＝2，∴a＝4，从而b＝2，∴A∪B＝{2,3,4}． 答案：{2,3,4}

5．(2009年高考江西卷改编)已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁UA)∪(∁UB)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为________．

解析：U＝A∪B中有m个元素，

∵(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有

m－n个元素．答案：m－n

6．(2009年高考重庆卷)设U＝{n|n是小于9的正整数}，A

＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U(A∪B)

＝________.

解析：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}，∴A∪B＝{1,3,5,6,7}， 得∁U(A∪B)＝{2,4,8}．答案：{2,4,8}

x7．定义A⊗B＝{z|z＝xy＋x∈A，y∈B}．设集合A＝{0,2}，B＝{1,2}，C＝{1}，y

则集合(A⊗B)⊗C的所有元素之和为________．

解析：由题意可求(A⊗B)中所含的元素有0,4,5，则(A⊗B)⊗C中所含的元素有0,8,10，故所有元素之和为18.答案：18

8．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________.

x＋y－2＝0，x＝0，解析：由⇒点(0,2)在y＝3x＋b上，∴b＝2. x－2y＋4＝0.y＝2.

9．设全集I＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{2，|a＋1|}，∁IA＝{5}，M＝{x|x＝log2|a|}，则集合M的所有子集是________．

解析：∵A∪(∁IA)＝I，∴{2,3，a2＋2a－3}＝{2,5，|a＋1|}，∴|a＋1|＝3，且a2＋2a－3＝5，解得a＝－4或a＝2，∴M＝{log22，log2|－4|}＝{1,2}．

答案：∅，{1}，{2}，{1,2}

10．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}．

(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；

(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．

解：由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，故集合A＝{1,2}．

(1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，得a2＋4a＋3＝0⇒a＝－1或a＝－3；当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a的值为－1或－3.

(2)对于集合B，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)．∵A∪B＝A，∴B⊆A， ①当Δ<0，即a<－3时，B＝∅满足条件；②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1,2}才能满足条件，则由根与系数的关系得

a＝－2，1＋2＝－2(a＋1)⇒21×2＝a－52 5a＝7， 矛盾.综上，a的取值范围是a≤－3.

11．已知函数f(x)＝ －1的定义域为集合A，函数g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)x＋1

的定义域为集合B.

(1)当m＝3时，求A∩(∁RB)；

(2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值．

解：A＝{x|－1<x≤5}．

(1)当m＝3时，B＝{x|－1<x<3}，则∁RB＝{x|x≤－1或x≥3}，

∴A∩(∁RB)＝{x|3≤x≤5}．

(2)∵A＝{x|－1<x≤5}，A∩B＝{x|－1<x<4}，

∴有－42＋2×4＋m＝0，解得m＝8，此时B＝{x|－2<x<4}，符合题意．

12．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}．

(1)若A＝∅，求实数a的取值范围；

(2)若A是单元素集，求a的值及集合A；

(3)求集合M＝{a∈R|A≠∅}．

解：(1)A是空集，即方程ax2－3x＋2＝0无解．

2若a＝0，方程有一解x＝ 3

9若a≠0，要方程ax2－3x＋2＝0无解，则Δ＝9－8a<0，则a>. 8

9综上可知，若A＝∅，则a的取值范围应为a>8

22(2)当a＝0时，方程ax2－3x＋2＝0只有一根x＝A＝{}符合题意． 33

9当a≠0时，则Δ＝9－8a＝0，即a＝时， 8

44方程有两个相等的实数根x＝A＝}． 33

294综上可知，当a＝0时，A＝{}；当a＝A＝{}． 383

2(3)当a＝0时，A＝≠∅.当a≠0时，要使方程有实数根， 3

9则Δ＝9－8a≥0，即a≤. 8

99综上可知，a的取值范围是a≤M＝{a∈R|A≠∅}＝{a|a≤} 88

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数学第一轮答案

参考答案

1．1．1 集合的概念

1～5 ＣＢＢＤＣ 6～10 ＤＤＡＣＢ

11．⑴∈ ⑵ ⑶∈ ⑷ ⑸∈ ⑹∈； 12．{-1，0，1，2，3}； 13．{-12

，2}；

14．{x|0＜x＜9，x∈N}； 15．2； 16．⑴{x|x＝12n，n∈N＋}，是无限集；

⑵{x|x＝2n,n∈Z}，是无限集；⑶{x|x＞2}，是无限集；⑷{x|x2-2x＋1＝0}，是有限集．

17．⑴{123，132，213，231，312，321}； ⑵{1}； ⑶{2，3，5，7，11，13，17，19} ⑷{4，5，6，7} 18． x＝0 19．解：⑴当a＝0或1时，A中只有一个元素； ⑵当a＜1时，A中有两个元素； ⑶当a≥1或a＝0时，A中至多有一个元素．

1．1．2 子集、真子集

1～5 ＡＢＣＣＣ 6～10 ＡＣＣＢＤ 11．AB； 12．16； 13．6或2； 14．A＝B； 15．-2，0，2； 16． a＝1或a＝-12

； 17． x＝±1，y＝0； 18．1＜a＜2；

12

19．满足条件的实数a的值组成的集合为{0，}．

1．2．1集合的运算（1）

1～5 ＢＣＤＣＣ 6～10 ＤＣＤＢＣ 11．｛0，1，3，5，6｝； 12．｛（-1，1）｝； 13．8，6，｛2，3，5｝； 14．｛x｜x为等腰直角三角形｝； 15． 4．

16．A∩B＝｛5，8｝，A∪B＝｛3，4，5，6，7，8｝． 17．S∩T＝｛x｜x＜1｝＝T，S∪T＝｛x｜x≤3｝＝S．（数轴略） 18．a＝-4，b＝4，c＝-5．

19．满足条件的集合B为：｛4｝，｛1，4｝，｛2，4｝，｛3，4｝，｛1，2，4｝，｛1，3，4｝， ｛2，3，4｝，｛1，2，3，4｝，共8个．

1．2．2 集合的运算（2）

1～5 ＡＤＢＣＤ 6～10 ＣＤＣＡＣ

11．⑴N，⑵{整数}，⑶Q； 12．，Ｕ，； 13．{x|1≤x＜2或2＜x＜5}； 14． CＵA＝{x|x=2n,n∈Z}； 15．{x|2≤x＜5}； 16．略；

17．⑴{x|-3≤x≤-1}，⑵{x|-7＜x≤-1或4≤x≤9}； 18．a＝4或a＝-2,b＝3； 19．⑴{x|x＜-3或x＞4}， ⑵{x|x＜2或x＞3}， ⑶{x|x＜-3或x＞4}， ⑷{x|x＜2或x＞3}．

1．2．3集合的运算（3）

1～5 ＡＤＤＣＣ 6～10 ＤＣＢＣＤ

11．A，B； 12．-1或3； 13．0或±3； 14．②④； 15． t＝0． 16．由所有满足条件的实数m构成的集合M＝｛0，

1．3 逻辑用语

12

1

，｝．

3

1～5 ＣＢＤＢＤ 6～10 ＣＡＡＢＡ

11．假，假，真； 12． 若a2≠1,则a≠1；

13．⑴充分不必要条件；⑵必要不充分条件；⑶充要条件；⑷必要不充分条件． 14．⑴真命题；⑵真命题；⑶假命题；⑷假命题．

15．否命题：若x≠1，则x2≠1；（假命题） 逆命题：若x2＝1，则x＝1；（假命题） 逆否命题：若x≠1，则x≠1．（真命题）

16．证明略（提示：用反证法）

2．1．1 不等式的性质（1）

1～5 ＤＡＣＢＣ 6～10 ＤＡＢＡＤ

11．＞； 12．2ab＜a2＋b2＜a＋b； 13．＞； 14．-3＜x＋y≤5，-4≤x-y＜4．

4222

15．⑵⑶； 16．x＋x＋1≤（x＋1）； 17．6＜a＋b＜14，-2＜a-b＜6，

23

2

＜

ab

＜4； 18．10＜3a＋b＜34．

2．1．2 不等式的性质（2）

1～5 ＣＢＡＣＡ 6～10 ＣＢＤＢＤ

11．小 ，16； 12．大，256； 13．2，大，2； 14．

ab2

； 15．小，12；

16．x＝1时，y的最小值为3；17．最大值为2-43； 18．证明略（提示：a＋b＋c＝1）； 19．每间虎笼长为4．5m，宽为3m时，可使面积最大．

2．1．2不等式的性质（3）

1～5 ＡＣＤＢＣ 6～10 ＤＡＣＤＢ 11．2-3＜3-2

＜

2

-1； 12．

1ab

＜

1a

； 13．

1a

＜

1b

． 14．P＞Q；

15．⑶、⑷； 16．略； 17．略； 18．略； 19．提示：aa1＝

a

1a1

1a

a1

，a2-a3＝

＜

1a2

1a2

a3

， ，

∵aa1＞a2a3，∴

a3

∴aa1＜a2-a3．

2．2．1 不等式组及绝对值不等式

1～5 ＡＤＣＣＣ 6～10 ＤＢＡＤＡ

11．x＜-2； 12．2x＋3； 13．(-3，9)； 14．3，6； 15．13 16．⑴(-32

，-1)∪(，＋∞)；⑵[2，4]∪[8，10]；

3

1

17．m＝1，n＝2； 18． 0＜a≤7．

2．2．2 一元两次不等式的解法

1～5 ＤＣＤＣＣ 6～10 ＤＣＡＤＢ

11．(-∞,1]； 12．-4，-5； 13．{x｜x＝3}； 14．（-∞，-3）∪[1，＋∞）；

15．（

12

5

，

12

5

）； 16．⑴（-∞，1）∪[12，＋∞）；⑵(-5，8）．

14

23

17．⑴（-2，1）；⑵（-∞，-3]∪[3，＋∞）； 18．a＝-12，b＝2，解集为（-，

）； 19．[0，1）．

2．3 不等式的运用

1～5 ＤＤＣＤＢ 6～10 ＤＣＡＣＢ

11．7000元； 12．10辆； 13．14； 14．5cm； 15．24； 16．⑴这种商品售价每提高1元,销量降低1件，⑵160； 17．2.5元．

3．1 映射

1～5 ＤＣＣＤＡ 6～10 ＡＣＣＢＡ

11．7； 12．0或-1； 13．不能； 14．(3,)； 15．{4，7，10，13}；

31

16．(2,2)； 17．(1,0)； 18．略．

3．2 函数

1～5 ＤＤＡＤＢ 6～10 ＣＣＤＣＢ 11．[0,2)∪(2,+∞)； 12．[

32

,2)∪(2,+∞)； 13．x2-2x+3 ； 14．(3,4) ；

15．3； 16．⑴(-∞,1)∪(1,2] ⑵{x|x≠0且x≠1}； 17．⑴[-3,3]， ⑵(-∞,-2]∪[2,+∞)； 18．f(2)＝0 ，f(a)＝a2-2a ，f(a+2)＝a2+2a

2

19．⑴f(0)=0， ⑵f(x)=x-x， ⑶[-1,2]．

3．3．1函数的表示法与分段函数

1～5 ＣＢＣＣＣ 6～10 ＤＣＢＤＢ 11．（-∞，-2）∪（2，＋∞），{3，-3}； 12． x2＋2，(x＋2)2； 13．x2＋2； 14．7； 15．[-12

，

12

]； 16．f(x)＝

2x3



43x



13

； 17．略； 18．略

5,0x3



19．⑴f(x)＝2x1,3x7

3x8,x7

，⑵需付12元．

3．3．2 一次函数与二次函数

1～5 ＢＢＢＤＤ 6～10 ＣＣＤＣＢ

11．f(x)=2x+2或f(x)=-2x-6； 12．[2006，2010]； 13．

2

12

，，0； 14．-1；

2

1

15．[-2，2]； 16．f(x)=-x+4x+12； 17．⑴ m=0或m=2；⑵ m=1；

2

18．f(x)=x-2x+3，[2，+∞)； 19．⑴ a=1 b=2，⑵ c=5．

3．4．1 函数的性质(1)

1～5 ＣＢＢＡＢ 6～10 ＡＢＡＤＢ

11．a=-4； 12．既不是奇函数也不是偶函数； 13．⑴m=0,n∈R；⑵b＝0 14．-10； 15．f(-2)=f(2)；

16．若a=0，b≠0，则f(x)=ax+b为偶函数；若a≠0，b=0，则f(x)=ax+b为奇函数；若a≠0，b≠0，则f(x)=ax+b为非奇非偶函数；若a=0，b=0，则f(x)=ax+b既是奇函数也是偶函数； 17．非奇非偶函数； 18．f(x)=x-1； 19．-3．

3．4．2 函数的性质(2)

1～5 ＣＢＢＤＣ 6～10 ＢＢＡＡＤ 11．上升，下降； 12．（-6，2）； 13．减函数，增函数； 14．（-∞，0）； 15．a≤4； 16．证明略； 17．x＞1； 18．-2≤m≤2； 19．⑴a2＋a＋1≥⑵f(a2＋a＋1)≤f(

34

34

，

)．

3．5 反函数

1～5 ＡＤＢＣＡ 6～10 ＡＢＣＤＢ

2

11．f1(x)＝-x-2(x≥0)； 12．m；13．f(x)＝x+2； 14． a＝1； 15． a＝-3，b＝7； 16．(-∞，6)∪(6，+∞)； 17．3； 18．⑴f

1

(x)＝

3x4x7

(x∈R，且x≠7)；⑵f

1

(x)＝1-x4（x≤-4）；

19．a＝3，b＝5，c＝-2．

4．1 有理指数幂

1～5 ＤＢＡＤＤ 6～10 ＤＤＢＡＡ 11．0； 12．3-2

； 13．0； 14．

2

43

； 15．|3a-2b|

196

16．23＋１； 17．3-； 18．（1）2，（2）3； 19．（1），（2）15．

4．2 指数函数

1～5 ＣＡＣＢＤ 6～10 ＢＣＡＢＤ 11．c＜a＜b； 12．,



12

； 13．,





32

； 14．6； 15．⑴⑷；

16．0.53 ＞ 0.53．1 ， 20．1＞2-0．1 ， 100．5＞1＞0.510 ． 17．解：⑴定义域为｛x| x≠

12

｝，值域为｛y|y≠1｝，⑵定义域为｛x| x≥4或x≤0｝，

值域为｛y|y≥1｝； 18.(－∞，１]．

4．3 对数

1～5 ＤＣＡＣＤ 6～10 ＢＤＡＢＡ 11．-92

； 12．lg2； 13．(1，2)； 14．3； 15．

ab

； 16．⑴1，⑵3；

17．-7 18．3 19．略

4．4 对数函数的性质

1～5 ＤＣＢＤＢ 6～10 ＤＡＣＡＢ 11．1； 12．(-∞，-2

)∪(

2

，＋∞)； 13．a＝2，b＝2； 14．(0，＋∞)；

x

15．(0，＋∞)； 16．(0，1)∪(1，＋∞)； 17．f(x)＝3 18．(4，+∞)； 19．⑴(-1，1)，⑵奇函数．

高一上学期期末考试模拟试题

1～5 ＣＤＡＤＣ 6～10 ＢＣＡＣＡ

2

11．[-2,3]； 12．81； 13．-2； 14．(1，2)∪(2，3]； 15．x-x； 16．⑴a＝-1、b=6，⑵(-∞，-5]∪[-1，+∞)； 17.⑴(-∞，-1)∪(1，+∞)，⑵(-∞，

2

1

-1)； 18．⑴

253

，⑵4； 19．y＝

x3x2

； 20．6＜x＜8； 21．⑴P=225-5x，

⑵y=-5(x-30)2+1225，⑶定价为30元时，最大利润是1225元.

5．1．1 角的概念的推广

1～5 ＡＡＣＤＢ 6～10 ＣＢＤＤＢ

11．第二,三或四象限角，第二,四象限角； 12．{α|α＝40°＋k²360°，k∈Z}； 13．{α|α＝135°＋k²180°，k∈Z}； 14．210°＋2³360°

15．α＋β＝k²360°，ｋ∈Z． 16．⑴145°,第二象限角；⑵20°,第一象限角；⑶320°,第四象限角；⑷325°15′,第四象限角．

17．⑴S＝{β|β＝15°＋k²360°，k∈Ｚ}，-705°,-345°,15°,375°，⑵S＝{β|β＝-560°＋k²360°，k∈Ｚ}，-560°,-200°,160°,520°； 18．A∩B＝A；A∩C＝A；A∪C＝C．

19．⑴{α|60°＋k²180°＜α＜90°＋k²180°，k∈Z}， ⑵{α|-120°＋k²360°＜α＜120°＋k²360°，k∈Ｚ}．

5．1．2 弧度制

1～5 ＢＣＤＡＢ 6～10 ＢＤＣＢＣ 11．｛α|2k＜α＜14.⑵-15



23

＋2k，k∈Z｝； 12.α＜β＜γ 13.； 16．⑴

196

53

-10π；



3

cm； 15．＝

53

2

＝

76

＋2π,第三象限角，

-2π,第四象限角； 17．三内角的度,



2

25

-10π,第四象限角，⑶-45°＝【高中数学第一轮免费下载】



6

74

数分别为30°,60°,90°；弧度数分别为19．

512

,



3

； 18．625cm；

cm，

2524

cm2．

5．2．1 任意角的三角函数

1～5 ＢＣＣＤＢ 6～10 ＣＡＢＣＣ 11．{α|α≠kπ＋



,k∈Z}； 12．y轴上； 13．充分不必要； 14．＜；

高中数学第一轮免费下载(五)
高中数学第一轮复习系列1-集合

第一章 集合、命题逻辑与充要条件

第1讲 集合的概念

一、考纲研读

1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；

2．能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；

3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；

4．在具体情境中，了解全集与空集的含义。

二、知识梳理

1．集合：某些指定的

（1）集合中的对象称 ，若a是集合A的元素，记作aA；若b不是集合A的元素，记作bA；

（2）集合中的元素必须满足： 、 与 ；

确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；

互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；

无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；

（3）表示一个集合可用 、 或 ；

列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；

描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（4）常用数集及其记法：

非负整数集（或自然数集），记作 ；正整数集，记作 ；

整数集，记作 ；有理数集，记作 ；实数集，记作 。

2．集合的包含关系：

（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的 （或B包含A），记作AB（或AB）；

集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若AB且BA，则称A等于B，记作A=B；若AB且A≠B，则称A是B的 ，记作AB；

（2）简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有 个子集（其中2n－1个真子集）；

三、考点难点整合

考点1 集合中元素的正确识别

[知识归纳]识别集合的元素关键是看竖线前面的符号是什么

[考点分析] 考查考生对集合概念的认识和理解

[例1] 已知集合P={x∈N|1≤x≤10}，Q={x∈R|x2+x－6=0}， 则P∩Q等于( )

A． {2} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3}

巩固训练1

1-1．若集合M＝{0，l，2}，N＝{(x，y)|x－2y＋1≥0且x－2y－1≤0，x，y ∈M}，则N中元素的个数为( )

A．9 B．6 C．4 D．2

1-2．设集合A{x|x119k,kZ}，若x，则下列关系正确的是（ ） 242

A．xA B．xA C．{x}A D．{x}A

考点2 集合相等的含义及其运用

[知识归纳]集合相等要求集合里面的元素要完全一样。

[考点分析] 考查考生对集合相等概念的理解.

[例2] 已知A={2,x,},B={2x,2 },A=B,在x=（ ）

A．0 B．1 C．2 D．2

巩固训练2

2-1． 设a,bR，集合{1,ab,a}{0,b,b}，则ba（ ） a

A．1 B．1 C．2 D．2

考点3 子集的考察

[知识归纳]集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB。

[考点分析] 考察学生对集合子集概念的理解，注意求真子集时千万不要忘记空集是任何非空集合的真子集。同时，A不是A的真子集。

[例3] 已知集合A={1，2，3，4}，那么A的真子集的个数是（ ）

A．15 B．16 C．3 D．4

巩固训练3

3-1．设集合M={a,b}，则满足M∪N{a,b,c}的集合N的个数为（ ）

A．1 B．4 C．7 D．8

3-2． 设集合A(x,y)y2x，B(x,y)ya,aR，则集合A（ ）

A．1个 B的子集个数最多有B．2个 C．3个 D．4个

四、当堂检测

1. 已知集合M＝｛（x，ｙ）｜x＋ｙ＝2｝，N＝｛（x，ｙ）｜x－ｙ＝4｝，那么集合M∩N为

A.x=3，y=－1 B.（3，－1） C.{3，－1} D.{（3，－1）}

2. 设集合M＝{(x,y)|x2＋y2＝1,x∈R,y∈R}，N＝{(x,y)|x2－y＝0,x∈R,y∈R}，则集合M∩N 中元素的个数为（ ）

A .1 B .2 C. 3 D. 4

3. 设集合A{1,2},则满足AB{1,2,3}的集合B的个数是（ ）

A . 1 B. 3 C. 4 D. 8

4. 已知A{1,3,m}，集合B{3,4}，若BA,则实数m___。

5. 第29届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A=｛参加北京奥运会比赛的运动员｝，集合Ｂ＝｛参加北京奥运会比赛的男运动员｝，集合Ｃ＝｛参加北京奥

运会的女运动员｝，则下列关系正确的是（ ）

Ａ．ＡＢ Ｂ．ＢＣ Ｃ．ＢＣ＝Ａ Ｄ．ＡＢ＝Ｃ

6．用符号或填空：0__________{0}， a__________{a}， __________Q， 1

2__________Z，－1__________R， 0__________N， 0 ．

第2讲 集合的基本运算

一、考纲研读

1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；

2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；

3．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

二、知识梳理

（1）交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集，

记为 ，即A∩B={x|x∈A且x∈B}.

（2）并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的

并集，记为 ，即A∪B={x|x∈A或x∈B}.

（3）补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即AS），由S中所有不属于A

的元素组成的集合，叫做子集A在全集S中的补集（或余集），记为 ， 即S A={x|x∈S且xA}.

三、考点难点整合

考点1 交集的应用

[知识归纳]交集就是取集合的公共元素

[考点分析] 考查考生对集合交集认识和理解

[例1] （1）设集合A=x2x1＜3，B=x3＜x＜2，则AB等于（ ）

A．x3＜x＜2 B. x＜x＜2 C. xx＞3 D. xx＜1

巩固训练1

1-1．设集合A{x|1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B=（ ）

A. ［0,2］ B. ［1,2］ C. ［0,4］ D. ［1,4］

1-2．已知集合M{x|log2x1},N{x|x1}，则M A．{x|0x1} N= （ ）． B．{x|0x2} C．{x|x1} D．

考点2 并集的应用

[知识归纳]并集就是取齐集合的所有元素，相同的只写一次，保证元素的互异性。

[考点分析] 考查考生对集合并集概念的认识和理解

[例2] 设集合M={4,5,6,8},集合N={3,5,7,8}那么M∪N=（ ）

A.{3,4,5,6,7,8} B.{5,8} C.{3,5,7,8} D.{4,5,6,8}

巩固训练2

2-1．若集合Ax|3x7，Bx|2x10，则AB_____________ 2-2．（2008广州二模）已知集合M满足M（ ） 1,21,2,3, 则集合M的个数是

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

考点3 补集的应用

[知识归纳] 补集就是在全集里面除开已知集合的元素，剩下的元素构成的集合。

[考点分析] 考查考生对集合补集概念的认识和理解

[例3] 设全集U{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合S{1,3,5}，T{3,6}，

则CUST等于（ ）

A． B．{2,4,7,8} C．{1,3,5,6} D．{2,4,6,8}

巩固训练3

3-1．已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}, A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(uA)∪(uB)= ( )

A.{1,6} B.{4,5} C.{1,2,3,4,5,7} D.{1,2,3,6,7}

3-2．设全集U1,2,3,4,5，集合A1,a2,5，CuA{2,4}，则a的值为（ ）．

A．3 B．4 C．5 D．6

四、当堂检测

1．设集合A{x|1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B=（ ）

A ［0,2］ B ［1,2］ C ［0,4］ D ［1,4］

，2，3，，4}A{1，，2}B{2，4}，则Cu(AB)=（ ） 2．设集合U{1

A．{2} B．{3} ，2，4} C．{1D．{1，4}

3．已知集合A=x|x25x60,Bx|2x13,则集合AB＝（ ）

A.x|2x3 B.x|2x3 C.x|2x3 D.x|1x3

4．设集合M= {x|xx0},N = { x | |x|2},则（ ）

A.M∩N=Φ B.M∩N=M、 C .M∪N=M D.M∪N=R

，2，3，4，5，6，集合A2，3，6，则集合CuA等于（ ） 5．已知全集U1

，4 Ａ．12Ｂ．4，5 ，4，5 Ｃ．13，6 Ｄ．2，

6．集合P=x,yxy0 ，Q=x,yxy2 ，则A∩ 

7．已知集合M＝｛x|x＜3｝，N＝｛x|log2x＞1｝，则M∩N＝8． 已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且AB，则实数a的取值范围是____ _。

集合复习题

一选择题、

1．下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ）

A．某班个子较高的同学 B．长寿的人 C

D．倒数等于它本身的数

2．设A={x|x≤4}，

）

 （A）{a} ≠ A （B）aA （C）{a}∈A （D）aA

3．下面表示同一集合的是（ ）

（A）M={（1，2）}，N={（2，1）} （B）M={1，2}，N={（1，2）}

（C）M=，N={} （D）M={x|x2x10},N={1}

4．下列四个命题：①＝｛0｝；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

5．已知全集U＝{0，1，2，3}且u A＝{2}，则集合A的真子集共有（ ） 2

A．3个 B．5个 C．8个 D．7个

6. 若集合A={x|-2<x<1},B={x|0<x<2},则集合AB等于( )

A.{x|-1<x<1} B.{x|-2<x<1}

C.{x|-2<x<2} D.{x|0<x<1}

7. 已知全集U=R,集合A={x|x+1<0}, B={x|x-3<0},那么集合(CUA)B等于( )

A.{x|1x3}

C.{x|x<-1} B.{x|-1<x<3} D.{x|x>3}

2 8. 设全集U=R,A={xN|1x10},B={xR|xx60},则下图中阴影部分表示的集

合为( )

A.{2} B.{3}

C.{-3,2} D.{-2,3}

9．若M＝{x｜x＞1}，N＝{x｜x≥a}，且NM，则（ ）

A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤1

10．已知集合

A.a1

C.a0

二.填空题 Ax|3x5，Bx|a1x4a1，且ABB，B，则实数aB.0a1的取值范围是（ ）． D.4a1

xx11．由所有偶数组成的集合可表示为

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