一元一次函数和一元二次函数交点问题

导读：　一元一次函数和一元二次函数交点问题(共5篇)...

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一元一次函数和一元二次函数交点问题(一)
二次函数与x轴的交点情况及与一元二次方程根与系数

☆二次函数与x轴的交点情况及与一元二次方程根与系数

点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，一元二次方程解的意义．关键是求二次函数解析式，根据二次函数的对称轴，开口方向判断函数值的大小．

2222. 如图，将二次函数y＝31x－999x＋89的图形画在坐标平面上，判断方程31x－999x＋

289＝0的两根，下列叙述何者正确（ ）

A．两根相异，且均为正根 B．两根相异，且只有一个正根

C．两根相同，且为正根 D．两根相同，且为负根

考点：抛物线与x轴的交点。

专题：综合题。 2222分析：由二次函数y＝31x－999x＋89的图象得，方程31x－999x＋89＝0有两个实根，两

根都是正数，从而得出答案．

22解答：解：∵二次函数y＝31x－999x＋89的图象与x轴有两个交点，且与x轴的正半轴相

交，

22∴方程31x－999x＋89＝0有两个正实根．

故选A．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：抛物线与x轴有两个交点时，方程有两个不等的实根；抛物线与x轴有一个交点时，方程有两个相等的实根；抛物线与x轴无交点时，方程无实根．

23. 已知二次函数y=x+bx﹣2的图象与x轴的一个交点为（1，0），则它与x轴的另一个交

点坐标是（ ）

A、（1，0） B、（2，0） C、（﹣2，0） D、（﹣1，0）

考点：抛物线与x轴的交点。

2分析：把交点坐标（1，0），代入二次函数y=x+bx﹣2求出b的值，进而知道抛物线的对

称轴，再利用公式x=xx1x21，可求出它与x轴的另一个交点坐标． 22

2解答：解：把x=1，y=0代入y=x+bx﹣2得：

0=1+b﹣2，

∴b=1， b1， 2a2

xx21∴x1， 22∴对称轴为x

∴x2=﹣2，

它与x轴的另一个交点坐标是（﹣2，0）．

故选C．

点评：本题考查了二次函数和x轴交点的问题，要求交点坐标即可解一元二次方程也可用公式xx1x21。 22

24. 已知函数y＝(k－3)x＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( )

A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3

考点：抛物线与x轴的交点；根的判别式；一次函数的性质。

专题：计算题。

22分析：分为两种情况：：①当k－3≠0时，(k－3)x＋2x＋1＝0，求出△＝b－4ac＝－4k

＋16≥0的解集即可；②当k－3＝0时，得到一次函数y＝2x＋1，与X轴有交点；即可得到答案．

2解答：解：①当k－3≠0时，(k－3)x＋2x＋1＝0，

22△＝b－4ac＝2－4(k－3)×1＝－4k＋16≥0，

k≤4；

②当k－3＝0时，y＝2x＋1，与x轴有交点．

故选B．

点评：本题主要考查对抛物线与x轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能进行分类求出每种情况的k是解此题的关键．

5. 如图，二次函数y=ax+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（

221，1），下列2结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac﹣b=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（ ）【一元一次函数和一元二次函数交点问题】

A．1 B．2

C．3 D．4

考点：二次函数图象与系数的关系。

专题：计算题。

分析：根据二次函数图象反应出的数量关系，逐一判断正确性．【一元一次函数和一元二次函数交点问题】

解答：解：根据图象可知：

①c＜0，c＞0

∴ac＜0，正确； ②∵顶点坐标横坐标等于1， 2

∴－b1=， 2a2

∴a+b=0正确；

③∵顶点坐标纵坐标为1， 4acb2

∴=1； 4a

∴4ac﹣b=4a，正确；

④当x=1时，y=a+b+c＞0，错误．

正确的有3个．

故选C．

点评：本题主要考查了二次函数的性质，会根据图象获取所需要的信息．掌握函数性质灵活运用．

26. 已知：二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b

22＜0；③a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）＜b；⑤a＞1．其中正确的项是( )

2

A．①⑤ B．①②⑤ C．②⑤ D．①③④ 考点：二次函数图象与系数的关系．

专题：数形结合．

分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答：解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，

∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0， ∵对称轴为xb0， 2a

∴a 、b异号，即b＜0，

又∵c＜0，∴abc＞0，

故本选项正确； ②∵对称轴为x

∴﹣b＞2a， b0，a＞0， 2a

∴2a+b＞0；

故本选项错误；

③当x=1时，y1=a+b+c；

当x=m时，y2=m（am+b）+c，当m＞1，y2＞y1；当m＜1，y2＜y1，所以不能确定； 故本选项错误；

④当x=1时，a+b+c=0；

当x=﹣1时，a﹣b+c＞0；

22∴（a+b+c）（a﹣b+c）=0，即（a+c）﹣b；

22∴（a+c）=b

故本选项错误；

⑤当x=﹣1时，a﹣b+c=2；

当x=1时，a+b+c=0，

∴a+c=1，

∴a=1+（﹣c）＞1，即a＞1；

故本选项正确；

综上所述，正确的是①⑤．

故选A．

点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b

2的关系，以及二次函数与方程之间的转换；二次函数y=ax+bx+c系数符号的确定：

（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；

（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式xb判断符号； 2a

（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；

222（4）b﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b﹣4ac＞0；1个交点，b

2﹣4ac=0，没有交点，b﹣4ac＜0．

27.已知二次函数y＝ax的图象开口向上，则直线y＝ax－1经过的象限是（ ）

A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限

C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限

考点：二次函数图象与系数的关系；一次函数图象与系数的关系

专题：二次函数

分析：二次函数图象的开口向上时，二次项系数a＞0；一次函数y＝kx＋b（k≠0）的一次项系数k＞0、b＜0时，函数图象经过第一、三、四象限．

解答：D

点评：本题主要考查了二次函数、一次函数图象与系数的关系．二次函数图象的开口方向决定了二次项系数a的符号．

8．设一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=m（m＞0）的两实根分别为α，β，且α＜β，则α，β满足（ ）

A．1＜α＜β＜2 B．1＜α＜2＜β C．α＜1＜β＜2 D．α＜1且β＞2 考点：抛物线与x轴的交点；根与系数的关系。

专题：数形结合。

分析：先令m=0求出函数y=（x﹣1）（x﹣2）的图象与x轴的交点，画出函数图象，利用数形结合即可求出α，β的取值范围．

解答：解：令m=0，

则函数y=（x﹣1）（x﹣2）的图象与x轴的交点分别为（1，0），（2，0），

故此函数的图象为：

∵m＞0，

∴α＜1，β＞2．

故选D．

点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点，能根据x轴上点的坐标特点求出函数y=（x﹣1）（x﹣2）与x轴的交点，画出函数图象，利用数形结合解答是解答此题的关键．

229.分二次函数y=﹣x+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x+2x+k=0的

一个解x1=3，另一个解x2=（ ）

A、1 B、﹣1 C、﹣2 D、0

考点：抛物线与x轴的交点。

专题：数形结合。

2分析：先把x1=3代入关于x的一元二次方程﹣x+2x+k=0，求出k的值，再根据根与系数的

关系即可求出另一个解x2的值．

2解答：解：∵把x1=3代入关于x的一元二次方程﹣x+2x+k=0得，

﹣9+6+k=0，解得k=3，

2∴原方程可化为：﹣x+2x+3=0，

∴x1+x2=3+x2=﹣2=2，解得x2=﹣1． 1

故选B．

点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点，解答此类题目的关键是熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系．

10．若x1，x2（x1＜x2）是方程（x-a）（x-b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（ ）

A、x1＜x2＜a＜b B、x1＜a＜x2＜b C、x1＜a＜b＜x2 D、a＜x1＜b＜x2

考点：抛物线与x轴的交点．

一元一次函数和一元二次函数交点问题(二)
二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数问题

二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数

1．（2014•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．

（1）求抛物线的表达式及对称轴；

（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．

2

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2．（2011•石景山区二模）已知：抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于C（0，4）．

（1）求抛物线顶点D的坐标；

（2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长度？

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3．（2013•丰台区一模）二次函数y=x+bx+c的图象如图所示，其顶点坐标为M（1，﹣4）．

（1）求二次函数的解析式；

（2）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时，求n的取值范围． 2

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4．（2009•北京）已知关于x的一元二次方程2x+4x+k﹣1=0有实数根，k为正整数．

（1）求k的值；

2（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x+4x+k﹣1的图象向下平移8个单位，求平移后

的图象的解析式；

（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b（b＜k）与此图象有两个公共点时，b的取值范围． 2

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一元一次函数和一元二次函数交点问题(三)
二次函数与一元二次方程关系知识点及练习

二次函数与一元二次方程关系知识点及练习

一、二次函数与一元二次方程关系

1、对于二次函数yax2bxc(a0)来说，当y0时，就得一元二次方程ax2bxc0(a0)，抛物线y=ax2+bx+c 与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根；

2、二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象与x轴的交点有三种情况（也即一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况）

①抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）的图象与x轴有两个交点（x1，0）(x2，0) <=>当△＞0时，

-bb24ac一元二次方程ax+bx+c=0 （a≠0）有两个不相等的实数根x1，x2，x1,2=； 2a2

②抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)与x轴有一个交点，恰好就是抛物线的顶点（-

△=0时，方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根x1=x2= -b，0）<=>当2ab 2a

③抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)与x轴没有交点<=>当△＜0时，方程ax2+bx+c=0没有实数根。

二、解读二次函数与一元二次方程关系

1、二次函数与一元二次方程关系，其实就是一元二次方程的根和二次函数的图象与x轴的交点横坐标之间的关系；

2、若一个二次函数的图象与x轴总有交点，则其对应的一元二次方程的判别式△≥0.反之亦然；

3、若抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）的图象与x轴有两个交点A（x1，0）B(x2，0)，则抛物线的对称轴为直线x=x1x2

2，线段AB的距离b24ac=x1x2=(x1x2)(x1x2)4x1x2，对称轴与x轴的交点aa222

恰为线段AB的中点。

4、推广：我们可以利用一元二次方程来研究抛物线与yaxbxc与直线ykxb（当2

k0时为一次函数的图像，当k0时为平行于x轴或与x轴重合的一条直线yb）的交点情况.

三、二次函数与一元二次方程关系应用

1、若已知二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的函数值m，求自变量x的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=m；反之亦然。

2、二次函数与一元二次方程的根的关系综合应用：判断抛物线与x轴的交点情况时，只需借助对应的一元二次方程的根的判别式；

3、利用二次函数图象求一元二次不等式的解集：抛物线在x轴上方的部分所对应的x的取值范围就是不等式ax2+bx+c＞0的解集；抛物线在x轴下方的部分所对应的x的取值范围就是不等式ax2+bx+c＜0的解集；

4、二次函数与直线的综合应用：在同一坐标平面内，确定二次函数图象与一次函数图象交点问题，通常划归为求由对应的解析式组成的方程组的解的情况；当△＞0时，这两函数有两个交点；当△=0时，这两函数有一个交点；当△＜0时，这两函数没有交点；

练习

一、填空题

y2x83x2与x轴有 个交点，因为其判别式b24ac 0，相应二次方2程3x2x80的根的情况为 ．【一元一次函数和一元二次函数交点问题】

22. 函数ymxx2m（m是常数）的图像与x轴的交点个数为 ．

23. 二次函数yx6x9的图像与x轴的交点坐标为 ．

224. 关于x的方程mxmx5m有两个相等的实数根，则相应二次函数ymxmx5m与

x

m ．

5.函数y(k(k5)的图像与x轴只有一个交点，则交点的横坐标x0 1.抛物线

．

二、解答题

1、已知P(-3，m)和Q(1，m)是抛物线y=2x2+bx+1上的两点

（1）求b的值

（2）判断关于x的一元二次方程2x2+bx+1=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，说明理由

（3）将抛物线y=2x2+bx+1的图形向上平移k(k是正整数)个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的最小值

2、已知函数yx2mxm2．

（1）求证：不论m为何实数，此二次函数的图像与x轴都有两个不同交点；

（2）若函数y有最小值5，求函数表达式． 4

3、 已知二次函数y2x24mxm2．

（1）求证：当m0时，二次函数的图像与x轴有两个不同交点；

（2）若这个函数的图像与x轴交点为A，B，顶点为C，且△ABC的面积为二次函数的函数表达式．

24、已知一元二次方程7x-(k+13)x-k+2=0的两个实数根x1、x2满足0＜x1＜1,1＜x2＜2，求

k的取值范围

5、已知抛物线C经过（-5，0），（0，5 ），（1，6）三点，直线l的解析式为y=2x-3 2

（1）求抛物线C的解析式

（2）证明抛物线C与直线l无交点

（3）若与l的直线y=2x+m与抛物线C只有一个公共点P，求P点的坐标

一元一次函数和一元二次函数交点问题(四)
二次函数与x轴的交点情况及与一元二次方程根与系数

二次函数与x轴的交点情况及与一元二次方程根与系数

一、选择题

点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，一元二次方程解的意义．关键是求二次函数解析式，根据二次函数的对称轴，开口方向判断函数值的大小．

2. （2011台湾，32，4分）如图，将二次函数y＝31x－999x＋89的图形画在坐标平面上，判断方程31x－999x＋89＝0的两根，下列叙述何者正确（ A ）

A．两根相异，且均为正根 C．两根相同，且为正根

B．两根相异，且只有一个正根 D．两根相同，且为负根

2

2

2

2

考点：抛物线与x轴的交点。

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：抛物线与x轴有两个交点时，方程有两个不等的实根；抛物线与x轴有一个交点时，方程有两个相等的实根；抛物线与x轴无交点时，方程无实根．

3. (2011襄阳，12，3分)已知函数y＝(k－3)x＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( B )

A．k＜4

B．k≤4 C．k＜4且k≠3

D

．k≤4且k≠3

2

考点：抛物线与x轴的交点；根的判别式；一次函数的性质。

点评：本题主要考查对抛物线与x轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能进行分类求出每种情况的k是解此题的关键．

4. （2011广西崇左，18，3分）已知：二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；

②2a+b＜0；③a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）＜b；⑤a＞1．其中正确的项是( A )

A．①⑤

B．①②⑤ C．②⑤

D．①③④

2

2

2

考点：二次函数图象与系数的关系．

点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换；二次函数y=ax+bx+c系数符号的确定：

2

（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0； （2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x

b

判断符号； 2a

2

2

（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；

（4）b﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b﹣4ac＞0；1个交点，b﹣4ac=0，没有交点，

2

b2﹣4ac＜0．

5．（2011湖北黄石，9,3分）设一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=m（m＞0）的两实根分别为α，β，且α＜β，则α，β满足（ D ）

A．1＜α＜β＜2

B．1＜α＜2＜β

C．α＜1＜β＜2

D．α＜1且β＞2

考点：抛物线与x轴的交点；根与系数的关系。 专题：数形结合。

分析：先令m=0求出函数y=（x﹣1）（x﹣2）的图象与x轴的交点，画出函数图象，利用数形结合即可求出α，β的取值范围． 解答：解：令m=0，

则函数y=（x﹣1）（x﹣2）的图象与x轴的交点分别为（1，0），（2，0）， 故此函数的图象为： ∵m＞0， ∴α＜1，β＞2． 故选D．

点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点，能根据x轴上点的坐标特点求出

函数y=（x﹣1）（x﹣2）与x轴的交点，画出函数图象，利用数形结合解答是解答此题的关键．

6．（2011年四川省绵阳市，12，3分）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x-a）（x-b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b

的大小关系为（ ）

A、x1＜x2＜a＜b B、x1＜a＜x2＜b C、x1＜a＜b＜x2 D、a＜x1＜b＜x2

考点：抛物线与x轴的交点．

分析：因为x1和x2为方程的两根，所以满足方程（x-a）（x-b）=1，再有已知条件x1＜x2、a＜b可得到x1，x2，

a，b的大小关系．

解答：解：∵x1和x2为方程的两根，

∴（x1-a）（x1-b）=1且（x2-a）（x2-b）=1， ∴（x1-a）和（x1-b）同号且（x2-a）和（x2-b）同号； ∵x1＜x2，

∴（x1-a）和（x1-b）同为负号而（x2-a）和（x2-b）同为正号，可得：x1-a＜0且x1-b＜0，x1＜a且x1＜b，

∴x1＜a，∴x2-a＞0且x2-b＞0， ∴x2＞a且x2＞b， ∴x2＞b，

∴综上可知a，b，x1，x2的大小关系为：x1＜a＜b＜x2． 故选C．

点评：本题考查了一元二次方程根的情况，若x1和x2为方程的两根则代入一定满足方程，对于此题要掌握同号

两数相乘为正；异号两数相乘为负． 二、填空题

1. （2011湖州，15，4分）如图，已知抛物线y=x+bx+c经过点（0，﹣3），请你确定一个b的值，使该抛物线

与x轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间．你确定的b的值是 

考点：抛物线与x轴的交点.

点评：本题主要考查对抛物线与x轴的交点的理解和掌握，能理解抛物线与x轴的交点的坐标特点是解此题的关键．

2. （2011山东日照，17，4分）如图，是二次函数 y=ax+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax+bx+c=0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．其中正确的命题是 ①③ ．（只要求填写正确命题的序号）

考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点。

点评：本题主要考查对二次函数与X轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系等知识点的理解和掌握，能根据图象确定系数的正负是解此题的关键．

3.

（2011•江西，

12

，3）试写一个有两个不相等实根的一元二次方程： ． 考点：根与系数的关系。

4.如图，抛物线y=-x+2x+m（m＜0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），点A在点B的左侧．当x=x2-2

时，y ＜ 0（填“＞”“=”或“＜”号）．

2

2

2

2

1

2

考点：抛物线与x轴的交点．

点评：本题考查了二次函数根与系数的关系，由根与系数的关系得到m小于0，并能求出

x=x2-2小于0，结合图象从而求得y值的大于0．

三、解答题

1. （2011江苏南京，24，7分）已知函数y=mx﹣6x+1（m是常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点； （2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．

考点：抛物线与x轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征。 专题：计算题。

分析：（1）根据解析式可知，当x=0时，与m值无关，故可知不论m为何值，函数y=mx﹣6x+1的图象都经过y轴上一个定点（0，1）．

（2）应分两种情况讨论：①当函数为一次函数时，与x轴有一个交点； ②当函数为二次函数时，利用根与系数的关系解答． 解答：解：（1）当x=0时，y=1．

所以不论m为何值，函数y=mx﹣6x+1的图象都经过y轴上一个定点（0，1）；

（2）①当m=0时，函数y=﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点；

②当m≠0时，若函数y=mx﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx﹣6x+1=0有两个相等的实数根， 所以△=（﹣6）﹣4m=0，m=9．

综上，若函数y=mx﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点或一次函数与x轴的交点，是典型的分类讨论思想的应用．

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2. （2011•广东汕头）已知抛物线与x轴没有交点．

（1）求c的取值范围；c＞；

（2）试确定直线y=cx+1经过的象限，并说明理由．(经过第一、二、三象限．) 考点：抛物线与x轴的交点；一次函数的性质。

3.（2011湖南怀化,22,10分）已知：关于x的方程ax﹣（1﹣3a）x+2a﹣1=0．

（1）当a取何值时，二次函数y=ax﹣（1﹣3a）x+2a﹣1的对称轴是x=﹣2；(答案a=﹣1) （2）求证：a取任何实数时，方程ax﹣（1﹣3a）x+2a﹣1=0总有实数根． 考点：二次函数的性质；根的判别式。

点评：此题主要考查了二次函数对称轴求法以及根的判别式，熟练应用此性质是解决问题的关键．

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一元一次函数和一元二次函数交点问题(五)
二次函数与一元二次方程的关系

二次函数与一元二次方程的关系

青白江区人和学校 彭足琼

凡是学过初中数学的学生，你问他们初中数学中，最难的知识

是什么？他们会不约而同地说：“二次函数”。没错，不仅仅是学生觉得二次函数难，包括所有从事初中数学教学的一线教师也会有同样的感受。所以，怎样才能学好二次函数，成为了初中学生和老师最最苦恼的问题。二次函数之所以难，我认为二次函数难就难在函数本身就是一个比较抽象的知识，再加上二次函数有三个参数，比一次函数和反比例函数都多，还有就是二次函数的题目不仅仅考它本身的知识，它还可以把初中所有的代数和几何知识放入其中，可见，二次函数成为各个地区中考的压轴题变成了理所当然的事。

既然二次函数题可以把初中所有的代数和几何知识放入其中，

因此，把二次函数与其它知识紧密联系起来，是我们老师和学生必须掌握的本领。这里，我就浅谈一下二次函数和一元二次方程的关系及怎样运用一元二次方程的知识来解决一些二次函数的题目，希望能给同学们和老师一点点启示和收获。

1、二次函数与一元二次方程形式上的联系与区别。我们清楚的

明白，形如：ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，且a≠0）的方程是一元二次方程，而形如：y= ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）是二次函数。认真观察一元二次方程：ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，且a≠0）和二次函数：y= ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），不难发现，它们在形式上几乎相同，差别也只是一元二次方程的表达式等于

0，而二次函数的表达式等于y。为什么会这样？主要是因为当二次函数中的变量y取0时，二次函数就变成了一元二次方程。

2、二次函数与一元二次方程在二次函数图像上的关系。正是因

为二次函数与一元二次方程在形式上的类似，使得二者在二次函数的图像上的关系格外密切。二次函数的图像是一条抛物线，在求抛物线：y= ax2+bx+c与x轴的交点坐标时，令y=0,即：ax2+bx+c=0，二次函数一下就变成了一元二次方程，再求出该方程的解，这个方程的解便是抛物线与x轴的交点坐标的横坐标。由于一元二次方程ax2+bx+c=0的根有三种情况①b²-4ac＞0时有两个不等的实数根；②b²-4ac=0时有两个相等的实数根③b²-4ac＜0时没有实数根，所以相应地：抛物线y= ax2+bx+c与x轴的交点情况有3种：①当b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点②当b²-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点③当b²-4ac＜0时，抛物线与x轴有没有交点。因此，一元二次方程ax2+bx+c=0的解就是二次函数y= ax2+bx+c的图像与x轴的交点的横坐标；二次函数y= ax2+bx+c的图像与x轴的交点情况与一元二次方程：ax2+bx+c=0的根情况有关。可见二者在二次函数的图像上的关系格外密切。

3、应用一元二次方程解决二次函数问题。正是因为一元二次方

程与二次函数无论在形式上，还是在图形上，关系都十分紧密，所以在解决很多二次函数题时，经常都要应用一元二次方程的知识。这里，我就列举几个典型题：

典型例题（1）：求证：二次函数y=3x²+（2m+3）x+2m²+1的值

恒为正。

分析：要证明该函数的函数值恒为正，只要能够证明到该抛物

线的开口向上且与x 轴没有交点即可，二次函数y= ax2+bx+c中，当a＞0时，图像开口向上；当b²-4ac＜0时，抛物线与x 轴没有交点。所以本题只需证明到a＞0同时b²-4ac＜0。

证明：y=3x²+（2m+3）x+2m²+1

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Δ=（2m+3）²-12（2m²+1）=-20（m-10）²-5，∵（m-10）²

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≥0，∴-20（m-10）²≤0，∴Δ=-20（m-10）²-5＜0，∴抛物线与x 轴没有交点，∵3＞0，∴抛物线开口向上，∴二次函数y=3x²+（2m+3）x+2m²+1的值恒为正.

典型例题（2）：二次函数的图象过点（－1，0）、（3，0），且与

y轴交于（0，3），求该二次函数的解析式。本题除了用二次函数的交点式和一般式来解外，还可以用一元二次方程的根与系数的关系，即韦达定理来解决该题。过程如下：设抛物线的解析式为：y=ax+bx+c, ∵抛物线与y轴交于（0，3），∴c=3,∵二次函数的图象过点（－1，0）、（3，0），∴一元二次方程：ax+bx+c=0的两个根为x1 =-1,x2=3,3b

∴a=-1×3，∴a=-1,∵-1=-1+3，∴ b=2,∴二次函数的解析式为：22y=-x²+2x+3

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典型例题（3）: 如图，已知抛物线y=2x2－（k＋2）x＋k．（1）试求k为何值时，抛物线与x轴只有一个公共点；（2）若抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴的负半轴交于点C，

试问：是否存在实数k，使△AOC与△COB相似？若存在，求出相应的k值；若不存在，请说明理由．

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分析：问题（1）∵抛物线y=2x2－（k＋2）x＋k与x轴只有一

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个公共点，∴y=2x2－（k＋2）x＋k中Δ=0，从而可以求出k的值。

AOCO问题（2）若△AOC和△COB中，当BOCO时，则△AOC和△COB相AOCOCOBO时，则△AOC和△COB相似。A、B两点的横坐标就是似；当

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一元二次方程2x2－（k＋2）x＋k =0的两个解，所以线段OA和OB可以用含k的代数式表示出来，从而建立方程可以把k的值求出来。

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具体步骤如下：解：（1）∵抛物线抛物线y=2x2－（k＋2）x＋k与

1211[-（k）]4k022x轴只有一个公共点，∴。∴（k-2）²=0，∴111

k=2。(2)∵c（0，k）且k＜0，∴OC=-k，2x2－（k＋2）x＋k =0，k

x=11(k)222122,∵k＜0，∴x1=2k, x2 =1,∴OA=-2k,OB=1，当

AOCO2kk1AOCOBOCO时，△AOC∽△BOC，∴1k，k=-2; 当COBO时，

2kk11,∴k=-2,∴当k=-2或-2时△AOC和△COB△AOC∽△COB∴k

相似。

通过上面的3个例子，你得到了什么启示，又有哪些收获？正是

由于二次函数与一元二次方程有着密切的关系，所以在解决二次函数问题时经常会应用二元一次方程的知识。我们一定要牢牢掌握好二次函数与一元二次方程的密切关系，在面对二次函数时，巧妙的运用一元二次方程的知识来解决二次函数中的问题。

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