二次函数中a的几何意义

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二次函数中a的几何意义(一)
图形专项训练：二次函数abc的几何意义

图形专项训练：二次函数abc的几何意义

1、二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象如图，则下列各式中成立的个数是（ ）

b

（1）abc＜0； （2）a＋b＋c＜0； （3）a＋c＞b；（4）a＜－2．

A．1 B 2 C .3 D. 4

2、

已知二次函数

①

；②

，（；③

的图象如图所示，有下列5 个结论：；④

；⑤

的实数）其中正确的结论有（ ）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

3、如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b=0；③a－b＋c=0；④5a＜b．其中正确结论是（ ）．

A ②④ B ①④ C ②③ D ①③

4、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①c<0，②b>•0，•③4a+2b+c>0，④（a+c）2<b2．其中正确的有（ ）

5、已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，有下列结论：①

b24ac0；②abc0；③8ac0；④9a3bc0． 其中，正确结论的个数是（ ）

A . 1 B . 2 C . 3 D. 4

6、二次函数y =ax2＋bx＋c 的图象如图8所示，且P=| a－b＋c |＋| 2a＋b |，Q=| a＋b＋c |＋| 2a－b |，则P、Q的大小关系为 .

二次函数中a的几何意义(二)
解题中注意明显几何意义的式子

解题中注意明显几何意义的式子(概念)问题

1.已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|

的最大值是

A．1 ( ) B．2 C. D.

答案 C解析 如图，设＝a，＝b，＝c，则＝a－c，

＝b－c.由题意知⊥，∴O、A、C、B四点共圆．∴当OC为圆的

直径时，|c|

最大，此时，||＝.

2.在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则

直线OM斜率的最小值为

C解析 如图，由得A(3，－1)．

此时直线OM的斜 率最小，且为－

. A．2 ( ) D．－ B．1 C．－

9

3..已知函数f(x)＝ax2＋bx－1(a，b∈R且a>0)有两个零点，其中一个零点在区间(1,2)内，则的取值范围为

A．(－∞，1) ( ) D．(－2,1)即.答案 D B．(－∞，1] C．(－2,1]

解析 因为a>0，所以二次函数f(x)的图象开口向上．

又f(0)＝－1，所以要使函数f(x)的一个零点在区间(1,2)

内，

则有即如图所示的阴影部分是上述不等式组所确定的平面区域，式子表示平面区域

内的点P(a，b)与点Q(－1,0)连线的斜率．而直线QA的斜率k＝＝1，直线4a＋2b－1＝0的斜率为－2，显然不等式组所表示的平面区域不包括边界，所以P，Q连线的斜率的取值范围为(－2,1)．故选D.

4.已知点P(x，y)的坐标x，y满足则x2＋y2－6x＋9的取值范围是( )

A．[2,4] B．[2,16] C．[4,10] D．[4,16]

答案 B解析 画出可行域如图，所求的x2＋y2－6x＋9＝(x－3)2＋y2是点Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q到射线x－y－1＝0(x≥0)的距离d的平方，最大值为|QA|2＝16.∵d2＝2＝()2＝2. ∴取值范围是[2,16]．

二次函数中a的几何意义(三)
二次函数与几何图形动点问题--答案

二次函数与几何图形

模式1：平行四边形

分类标准：讨论对角线

例如：请在抛物线上找一点p使得A、B、C、P四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况

（1）当边AB是对角线时，那么有AP//BC

（2）当边AC是对角线时，那么有AB//CP

（3）当边BC是对角线时，那么有AC//BP

1、本题满分14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；

(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标

.

2、如图1，抛物线yx2x3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为

D．

（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴； 2

（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF//DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．

①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？

②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系．

模式2：梯形

分类标准：讨论上下底

例如：请在抛物线上找一点p使得A、B、C、P四点构成梯形，则可分成以下几种情况

（1）当边AB是底时，那么有AB//PC

（2）当边AC是底时，那么有AC//BP

（3）当边BC是底时，那么有BC//AP

3、已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A的坐标为(4,0)，点C的坐标为(0，2)，直线

2yx与边BC相交于点D． 3

(1)求点D的坐标；

2(2)抛物线yaxbxc经过点A、D、O，求此抛物线的表达式；

(3)在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

4、已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．

（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；

（2）如图1，在直线 y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N． 将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN． 在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．

模式3：直角三角形

分类标准：讨论直角的位置或者斜边的位置

例如：请在抛物线上找一点p使得A、B、P三点构成直角三角形，则可分成以下几种情况

（1）当A为直角时，ACAB

（2）当B为直角时，BCBA

（3）当C为直角时，CACB

5、如图1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求直线BC的函数表达式；

（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限． ①当线段PQ3AB时，求tan∠CED的值； 4

②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．

二次函数中a的几何意义(四)
二次函数定义与表达式

【二次函数中a的几何意义】

定义与表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax²+bx+c

（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.） 则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

三种表达式

一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

顶点式：y=a(x-h)²+k[抛物线的顶点P(h, k)]

交点式：y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：

,

抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 ,

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶点P，坐标为

当 时，P在x轴上。 当 时，P在y轴上；

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线开口大小。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下，|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a有1个交点。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c）

抛物线与x轴交点个数

Δ=b²-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。Δ=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Δ=b²-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。[2]

基本定义

一般地，把形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0，b，c可以为0）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。顶点坐标

x轴有交点的抛物线），与x轴的交点坐标是 ，交点式为 和 。 （仅限于与

注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在实数范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都【二次函数中a的几何意义】

表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别，如同函数不等于函数的关系。[1-2]

函数性质

1.二次函数是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 [3] 。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。

2.抛物线有一个顶点P，坐标为P

当 时，P在x轴上。 。当 时，P在y轴上；

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。|a|越大，则抛物线的开口越小。|a|越小，则抛物线的开口越大。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。（可巧记为：左同右异）

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0, c）

6.抛物线与x轴交点个数：

交点。当

当

当 时，函数在 时，抛物线与x轴有2个交点。 时，抛物线与x轴没有交点。 处取得最小值；当 时，函数在 处取得最大值 时，抛物线与x轴有1个 时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为=ax²+c(a≠0)。

①一般式：

⑴a≠0 ⑵若a>0，则抛物线开口朝上；若a<0，则抛物线开口朝下；

⑶顶点： ；

和

； ⑷若Δ>0，则函数图像与x轴交于两点：若Δ=0，则函数图像与x轴切于一点：

若Δ<0，函数图像与x轴无公共点；

②顶点式： 此时顶点为（h,t)

，其中, ； 时，对应顶点为

③交点式：

表达式

顶点式 函数图像与x轴交于 和 两点。

y=a(x-h)²+k(a≠0,a、

h、k为常数),顶点坐标为（h,k)[4] ，对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最大（小）值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。

例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。

解：设y=a(x-1)²+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)²+2。

注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。[2]

具体可分为下面几种情况：

当h>0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到；

当h<0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位得到；

当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图象；

当h>0,k<0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象；

当h<0,k>0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象；

当h<0,k<0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象。[5]

交点式

[仅限于与x轴即y=0有交点时的

二次函数 (16张)

抛物线，即b2-4ac≥0] .

已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x1, 0)和B(x2, 0),我们可设

,然后把第三点代入x、y中便可求出a。

由一般式变为交点式的步骤： (韦达定理)

重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。

(y为截距) 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。[2]

欧拉交点式：

若ax²+bx+c=0有两个实根x1,x2，则

此抛物线的对称轴为直线

三点式 。

方法1：已知二次函数上三个点，(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)。把三个点分别代入函数解析式y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)，有：

得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

与X轴交点的情况:当

当

当

（

函数图像

基本图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax2+bx+c的图像，可以看出，在没有特定定义域的二次函数图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由

轴对称 平移得到的。[2] 时，函数图像与x轴有两个交点，分别是(x1, 0)和(x2, 0)。 时，函数图像与x轴只有一个切点，即 。[2] 时，抛物线与x轴没有公共交点。x的取值范围是虚数 ）[2]

二次函数图像

二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线

对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图象的顶点P。

特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。是顶点的横坐标（即x=？）。 a,b同号，对称轴在y轴左侧； a,b异号，对称轴在y轴右侧。[2]

顶点

二次函数图像有一个顶点P，坐标为P(h,k)。

当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)2+k（x≠0）

,

开口

二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。

当a>0时，二次函数图象向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则二次函数图像的开口越小。[2]

决定位置因素

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号

当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号

可简单记忆为左同右异，即当对称轴在y轴左时，a与b同号（即a>0，b>0或a<0，b<0）；当对称轴在y轴右时，a与b异号（即a0或a>0，b<0）（ab<0）。

事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图象与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。[2]

决定交点因素

常数项c决定二次函数图像与y轴交点。

二次函数图像与y轴交于（0,C）点

注意：顶点坐标为（h,k)， 与y轴交于（0,C)。[2]

与x轴交点数

a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。 。[2]

二次函数中a的几何意义(五)
二次函数与几何—教师用

二次函数与几何结合

二次函数中关于面积问题

常见问题：面积分割为m：n；面积=具体的值；求面积表达式； 一般思路与方法：

①从几何角度直接找出相应情况求出值；（下称方法①）

②从代数思维设未知数，用代数式表示，求出值.然后辨析计算结果是否符合要求. （下称方法②）

例1.如图所示，二次函数yx22xm的图象与x轴的一个交点为A(3,0)，另一个交点为B，且与y轴交于点C.

（1）求二次函数解析式及B点坐标；

（2）该二次函数图象上有一点D(x,y)（其中x0，y0），使SABDSABC，求点D坐标.

例2.（无锡市2010年中考第24题）如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4,0）和（2,0），

BC=设直线AC与直线x=4交于点E．

（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式,并说明此抛物线一定过点E； （2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一动点，求△CMN面积的最大值．

- 1 -

例3.已知抛物线yax22xc与它的对称轴相交于点A(1 ，4)，与y轴交于C，与x轴正半轴交于B．（1）求这条抛物线的函数关系式； （2）设直线AC交x轴于D，P是线段AD上一动点（P点异于A，D），过P作PE∥x轴交直线AB于

E，过E作EFx轴于F，求当四边形OPEF的面积等于

7

时点P的坐标． 2

例4.如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P.已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B（1，－5）、D（4，0）. ⑴求c、b（用含t的代数式表示）；

⑵当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB、CD交于点M、N.

①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；

②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，S=

21； 8【二次函数中a的几何意义】

③在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围. ．．

分析：⑴带入坐标即可求解

⑵①随着时间t变化，易得其tan值等于1.故不发生变法.

②用上述方法②代数式表示面积。

面积表示方法：割补法，原则转化成学过的图形且底边与坐标轴

重合或平行.如本题：

S△MPN =S四边形AMNP–S△AMP

=S△PND＋S梯AMND–S△AMP

如此本题可解.注意：代数法算出的结果要进行取舍.本题有一根要舍

去.

③“好点”整点问题最近出现频率较为频繁.而且感觉非常棘手。

方法：首先整点问题，必用直尺铅笔画网格线，方易解题。特别是初中阶段.

本题画好网格线，通过观察易得t的取值范围.7/2＜t＜11/3；也可通过函数值列不等式计算.

- 2 -

二次函数中关于三角形相似

相似作为一种方法自学完之后就是贯穿整个初中知识内容，用途极广。一般出现的问题是： ①相似存在性问题；②求长度问题、（求周长问题、求面积问题较少考到相似）；③证比例关系. ⑴相似存在性

两个三角形相似若没有任何条件约束应有六种对应情况.题目中一般会限制条件，使情况减少.但任需分类讨论.

例1、平面直角坐标系xOy中，已知A(2,3)，线段AB垂直于y轴，垂足为B，将线段AB绕A逆势针方向旋转90°，点B落在点C处，直线BC与x轴交于点D. ⑴试求出点D的坐标；

⑵试求出经过A、B、D三点的抛物线的表达式，并写出其顶点E的坐标；

⑶在⑵中所求抛物线的对称轴上找点F，使得以A、E、F为顶点的三角形与△ACD相似；

例2.如图，已知抛物线的方程C1：y=且点B在点C的右侧.

⑴若抛物线C1过点M（2,2），求实数m的值； ⑵在⑴的条件下，求△BCE的面积；

⑶在⑴的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+EH最小，求出点H的坐标；

⑷在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值，若不存在，请说明理由.

- 3 -

y

1

（x+2）（x-m）（m＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，m

例3、已知平面直角坐标系，画出直线y=

1

x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时2

针旋转90°，使点A落在点C，点B落在点D，抛物线y=ax²+bx+c过点A、D、C，其对称轴与直线AB交于点P.

⑴求抛物线的表达式； ⑵求∠POC的正切值；

⑶点M在x轴上，且△ABM与△APD相似，求点M的坐标.

例4.如图，已知：直线yx3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax+bx+c经过A、B、C（1，0）三点.

（1）求抛物线的解析式;

（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线yx3上有一点P,使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标； （3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

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2

二次函数与等腰三角形

等腰三角形考查

一、三个性质：①腰等；②等角；③三线合一

二、考查用尺规找等腰三角形的方法.

例1、如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点，直线l是抛物线的对称轴. ⑴求抛物线的函数关系式；

⑵设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

⑶在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在说明理由. 分析：⑶考查①等腰三角形的性质，②分类讨论的应用 若A为顶点，根据其腰等计算； 若C为顶点，根据其腰等计算；

若M为顶点，做AC的的垂直平分线.即可解.

x

例2、如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置. ⑴求点B的坐标；

⑵求经过点A、O、B的抛物线的解析式；

⑶在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

分析：可用例1分类讨论的方法计算解答，但发现结算结果相同。 此题可用方法2尺规作图，观察发现只存在一个点使得其成特殊的等腰三角形等边三角形。所以只存在一种情况，大大节省了时间.

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