沪科版八年级下册数学

导读：　沪科版八年级下册数学(共5篇)...

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沪科版八年级下册数学(一)
沪科版 八年级数学下册复习讲义

第十六章 二次根式

知识点一：二次根式的概念

【知识要点】

二次根式的定义：形如

才有意义．

【典型例题】

题型一：二次根式的判定

【例1】下列各式1

的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时， 其中是二次根式的是_________（填序号）．

题型二：二次根式有意义

【例2】

x的取值范围是 ．

题型三：二次根式定义的运用

【例3】若y=x5+5x+2009，则x+y= 解题思路：式

，x50 x5，y=2009，则x+y=2014 a≥0）,5x0

题型四：二次根式的整数与小数部分

已知a

b是

a1的值。 b2

若的整数部分是a，小数部分是b，则ab 。 x21

y的值. 若的整数部分为x，小数部分为y，求

【知识要点】

1. 非负性：知识点二：二次根式的性质 a(a0)是一个非负数．

注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．

2. (a)2a(a0)．

注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a(a)2(a0)

a(a0) a(a0) 3. a2|a|

注意：（1）字母不一定是正数．

（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．

（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．

a(a0)与( 4. 公式a2|a|a(a0))2a(a0)的区别与联系

（1）

（2）(

（3）a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数． a)2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数． a2和()2的运算结果都是非负的．

【典型例题】

题型一：二次根式的双重非负性

a2c40，abc【例4】

若则2 ．

题型二：二次根式的性质2 （公式(a)2a(a0)的运用）

【例5】

化简：a12的结果为（ ）

A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4

题型三：二次根式的性质3 （公式a(a0)的应用） a2aa(a0)

【例6】已知x2,

A、x2

【知识要点】

1、最简二次根式：

（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或

因式．

2、同类二次根式（可合并根式）：

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可

以合并的两个根式。

【典型例题】

【例7】在根式

）

A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)

解题思路：掌握最简二次根式的条件。

知识点四：二次根式计算——分母有理化

【知识要点】

1．分母有理化

定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2．有理化因式：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下：

①单项二次根式：

ab与aba来确定，

B、x2 C、x2 D、2x 知识点三：最简二次根式和同类二次根式

等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。

如a

与a

，

，

3．分母有理化的方法与步骤：

①先将分子、分母化成最简二次根式；

②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；

③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

【典型例题】

【例8】 把下列各式分母有理化

（1

（2

（3

（4

）【例9】把下列各式分母有理化

（1

（2

（3

）（4

）【例10】把下列各式分母有理化：

（1

（2

（3

小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类： ①③与与； ②与； ； ④与．

知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除

【知识要点】

1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根

4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。

注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要

考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．

【典型例题】

【例11】化简 2

【例12】计算（1）

【知识要点】

需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方

数不变。 （2） （3） （4） 知识点六：二次根式计算——二次根式的加减

注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．

【典型例题】

【例13】计算

（1

） （2

）； 

【例14】 （1

）（2

知识点七：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值

【知识要点】 1、确定运算顺序；

2、灵活运用运算定律；

3、正确使用乘法公式；

4、大多数分母有理化要及时；

5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；

【典型习题】

21、2ab5(3a3b)3b 2、 12 +42 b2a

1 －48 ) 8

【例15】 1．已知：

【知识要点】

，求的值． 知识点八：根式比较大小

1、根式变形法

当a0,b0时，①如果a

2、平方法 当a0,b0时，①如果a2

bab b2，则ab；②如果a2b2，则ab。

3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。

5、倒数法

6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。

7、作差比较法

在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①ab0ab；②ab0ab

8、求商比较法

a

9、它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：①b

【典型例题】

【例16】 比较

1aba；

②b1

ab （用两种方法解答）

与的大小。

【例17】的大小。【沪科版八年级下册数学】

解与解法一元二次方程根的判别

韦达定理

，并且②未知数的最高次数是，这样的③整式方程就是一元．．．．．．．．．2．．．．．

二次方程。

2bxc0(a0)

“未知数的最高次数是2：” ①该项系数不为“0；”

②未知数指数为“2；”

③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）

2A、3x12x1 B、1120 C、ax2bxc0 D、x22xx21 2xx

变式：当时，关于x的方程kx22xx

23是一元二次方程。 例2、方程m2xm3mx1

0是关于x的一元二次方程，则m的值为

。

例1、已知2y

y3的值为2，则4y2y1的值为

。

2mm0,xm 22

沪科版八年级下册数学(二)
沪科版八年级数学(下)复习

二次根式复习指导

一、知识梳理

1

a≥0）的式子叫做二次根式。

2、满足下列两个条件的式子叫做最简二次根式： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

3、化为最简二次根式后，被开方的式子叫做同类二次根式。

2

4

、＝________

________

＝________

_______。

5、在进行二次根式加减运算时，应先将各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式合并。 二、重点、难点分析

重点：正确理解与掌握二次根式的概念，概念成立的条件是正确进行运算的基础。灵活运用好两个．．重要公式：



（a≥0,b≥0



a≥0,b＞0）。

难点：掌握化简二次根式的方法，二次根式的混合运算，

三、思想方法

(a0)a　　　

a的理解。

a　　(a0)

例1、已知A

B，试比较A与B的大小。

例

2、已知x＝

例3

例4、x 四、考点例析

例5、下列等式成立的是（

） A1

2

，y＝

12

，求xxyy的值。

22

1＜x＜3）

a

b

B．

C



Dab

例6、设a、b、c都是实数，且满足(2a)数式xx1的值。

2

2

c80，axbxc0，求代

2

例7、下列二次根式不是最简二次根式的是( ) A

B【沪科版八年级下册数学】

C

．五、易错点例析

例9

例10

、若a

例11

、计算：4

D

一元二次方程复习指导 一、知识梳理

1、只含有一个未知数,并且未知数最高次数为2的整式方程，这样的方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式是ax^2+bx+c=0，其中ax^2叫做二次项，a是二次项系数，bx叫做一次

项，b是一次项系数，c叫做常数项。 3、一元二次方程常用的解法有：_____________,_______________,_______________,_____________ 4、简要说下怎样用一元二次方程的根的判别式判断方程解的情况 二、重点、难点分析

重点：（1）理解一元二次方程的概念；（2）掌握求一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的方法；（3）熟练应用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程；（4）熟练应用一元二次方程解决实际问题。 难点：（1）熟练地利用配方法解一元二次方程，理解转化思想，设法将方程中的“二次”将为

“一次”；（2）理解一元二次方程的b4ac，会根据b4ac判断数字系数的一元二次方程根的情况。（3）建立一元二次方程或分式方程模型解决实际问题。 三、思想方法

一元二次方程的解法，其实就是如何将“二次”转化为“一次”，例如配方法就是把“一般”形式的一元二次方程转化为“特殊”（可直接开平方法解）的一元二次方程。通过转化思想的学习，可以利用已经学过的知识解决新问题，把“未知”向“已知”转化，由“陌生”向“熟悉”转化。

在研究一元二次方程时，先通过研究特殊形式的一元二次方程的解法，由此引入了直接开平方法，接着研究了一元二次方程的解法，而在求解的过程中，暴露出开平方法的局限性，故此引入配方法，进而得出一元二次方程的公式解法，即求根公式，最后介绍因式分解法。

在直接开平方法解一元二次方程时，就涉及到了整体思想，所谓整体思想，就是从整体着眼，把一些看似毫不相干而实质上又紧密联系的数、式看成一个整体去处理，如方程3(x2)

2

22

13

，把括号

内的代数式看作一个整体，先求x2的值，再求x。

由于一元二次方程ax

2

bxc＝0成立必须的条件是a≠0，所以在涉及到含有字母系数的一元二

次方程时，经常要用到分类讨论思想。 四、考点例析

例1、下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A．3(x2)2(x1) B．例2：方程(x1)(x3)5的解是（ ）

A．x1＝1，x2＝－3 B．x1＝4，x2＝－2 C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－4，x2＝2

例3、关于x的一元二次方程x3x2m0的根的情况是（ ）

C．无实数根 D．不能确定

例4、已知一元二次方程xax4a0的两实根中仅有一根为负数，求a的取值范围。

例5、现有长方形纸片一张，长19cm，宽15cm

，按照如图所示的裁法，需要裁去边长是多少的小正方形才能做成底面积为77cm的无盖长方体型的纸盒？

2

2

2

2

2

2

1x

2



1x

20 C．ax

2

bxc＝0 D．x2xx1

22

五、易错点例析

例

6、已知一元二次方程kx(2k1)xk0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______。

例7、解方程：(x2)4(x2) 例8、关于x的方程x(k2)x2k10的两实数根为x1＋x2＝k＋2，x1x2＝2k＋1 勾股定理复习指导 一、知识梳理

1、直角三角形是一类特殊三角形，它的三边（a、b、c，其中c为斜边）具有一种特定的关系，该关系是______________，称之为勾股定理。

22

2

2、勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 3、能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数。

4、在坐标平面内任意两点A（x1,y1），B（x2，y2），那么A、B两点之间的距离公式为__________。 二、重点、难点分析

1、勾股定理反映的是直角三角形的三边之间的关系。如果已知直角三角形的任意两边，可利用它来求出第三边。

2、勾股定理与逆定理的题设与结论正好相反，它们都与直角三角形有关。

3、勾股定理在现实生活中有着广泛的应用，它的前提是直角三角形，因此在求解时要先将实际问题抽象成相应的几何模型，再用数学的观点求解未知量。其关键是运用题目中的直角条件或构造直角三角形。其中构造的方式一般有两种：一是借助已知条件中直角构造，二是作垂线构造。 三、思想方法

在利用勾股定理求线段的长时，常设某条线段的长为x，其他相关线段用含x的代数式表示，结合图形，构造关于x的方程（组）进行求解。

由于有的数学问题中包含着多种可能的情形，不能一概而论，于是，这些问题的解决就需要按照可能出现的所有情况分别给予讨论，做到既不重复，又不遗漏地得出各种情况下相应的结论，进而达到全面解决整个问题的目的，这种思考问题的方法就是分类讨论。如已知一直角三角形的两边，或对于无图形的应用问题，常采用分类讨论的数学思想来进行，防止漏解。

在本章中，如将实际问题转化为数学问题，将非直角三角形转化为直角三角形，将立体图形转化为平面图形等，充分显示了转化思想的妙用。

在对实际问题解决的过程中，首先要将其转化为数学问题，提炼其数学元素，并画出图形，然后根据图形找出数量关系，将“数”与“形”结合起来，这种思想就是数形结合思想。如求网格中的线段长，以及作2

所谓数学建模思想是指通过抽象和简化，使用数学语言对实际现象的一个近似的刻画，以便于人们更深刻地认识所研究的对象。就是说用数学知识去解决实际问题时所使用的数学语言和数学方法。 四、考点例析

例1、（荆门市）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b，那么(a＋b)2的值是______

例2、（金华市）如图，在由24个边长都为1的小正三角形的网格中，点P是正六边形的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长 ．

例3、（芜湖市）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形

A的边长为

6cm、B的边长为

5cm、C的边长为5cm，则正方形D的边长为（ ） A．

B．4cm C．

D． 3cm

例4、（乐山）如图（5），把矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，

B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH90，PF8，PH6，则矩形ABCD的边BC长为（ ）



Ａ．20 Ｂ．22 五、易错点例析

Ｃ．24 Ｄ．30

例5、判断有线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形，其中a

15

，b＝2，c

75

。

例6、若直角三角形的两边长分别为6cm，8cm，求第三边的长。 例7、已知△ABC的两边长为10cm和12cm，BC边上的高为8cm，求第三边的长。 定理的作用：

①已知直角三角形的两边，求第三边。 ②证明三角形中的某些线段的平方关系。 (勾股定理的应用：

勾股定理只适用于直角三角形，首先分清直角及其所对的斜边。当已知中没有直角时，可作辅助线，构造直角三角形后，再运用勾股定理解决问题。求线段的长度，常常综合运用勾股定理和直角三角形的其它性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质来解决。 勾股定理的逆定理。

运用勾股定理的逆定理的步骤： ①首先确定最大的边(如c) ②验证： 若 当 当

与

是否具有相等关系：

，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形。 时，△ABC是锐角三角形； 时，△ABC是钝角三角形。

注意总结直角三角形的性质与判定。

沪科版八年级下册数学(三)
沪教版初二下数学详细讲义

第十六章 二次根式

第一节 二次根式

【知识要点】

1.二次根式

代数式a0)叫做二次根式。读作“根号a”，其中a叫被开方数.

2.二次根式有意义

a0

3．二次根式的性质

性质一

a(a0)

性质二

2a(a0)

性质三

a0,b0

性质四

a0,b0) 4.最简二次根式

在化简后的二次根式里：

(1)被开方数中各因式的指数都为1；

(2)被开方数中不含分母.

被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

5.同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二 次根式.

【学习目标】

1.掌握二次根式有意义的条件及性质.

2.掌握最简二次根式及同类二次根式.

【典型例题】

1.二次根式的判定

【例1】 下列式子中哪些是二次根式？

（1

（2

（3

）； （4

（5

（6

x1)； （7

（8

a0)；

（9

（10

【答案】（1）、（3）、（5）、（7）、（8）是二次根式.

【分析】 二次根式要求根指数为2，所以（4）就不是二次根式，同时二次根式的被开方数

必须是非负数，所以（2）、（6）显然不是，（9）中只有当x10即x1时，才是二次根式，（10）中只有当x0时，才是二次根式.

2.二次根式有意义的条件

【例2】当实数x取何值时，下列各式有意义？

（1

（2

（3

（4

（5

； （6

。 1； （2）x取任何实数； （3）x0； （4）x5； 2

32 （5）x 且x1； （6）x。 23

11【分析】（1）由2x10，得x，所以当x

22【答案】 （1）x

（2）无论x取什么实数，都有(x2)0，所以当x

2

（3）由x0，且x0，得x0，所以当x

（4）由x5 0，即x50，得x5，所以当x

5233且x1，所以当x且x

1有x122（5）由32x0且x10，得x

意义；

（6）由2210且6x40，即6x40，得x，所以当x

336x4

有意义;

3.二次根式的化简

【例3】化简下列二次根式；

（1

）； （2

；

（3

y0)； （4

a0,b0)。 【答案】（1）7；（2

） （3

） （4

； 【解答】（1）原式

（2

）原式 （3）由12xy0且y0，得x0，所以 3

原式【沪科版八年级下册数学】

 （4）由a且b0，得ab0，所以

原式。 abab

【例4】下列根式中哪些是最简二次根式？

（1

（2

（3

（4

（5

； （6

（7

【答案】（1）、（5）、（7）是最简二次根式.

【解析】因为

1，所以

（2）、（6）不是最简二次根式.



简二次根式.

4.同类二次根式的判定

【例5】下列各式中，哪些是同类二次根式？ 、（4）不是最3）

（1

（2

（3

（4

（5

（6

（7

x0,y0)； （8

x0,y0)。

【答案】 （1

； （2

 （3

； 45

； （6

； 2（4

 （5

（7）因为x0,y0，所以x2y，于是

)x 2

(x2y；

（8）因为x0,y0，所以xy0，于是

xy。

因此（1）、（5）、（7）是同类二次根式；（3）、（6）是同类二次根式；（4）、（8）是同类二次根式.

【基础训练】

1．a2(a)2成立的条件是_______________.

2．当x________时，式子x31

5x有意义.

a2a2

1；当a________时，1. 3．当a________时，aa

4.代数式 x1 中，字母x的取值范围是 ___________. x1

5.若2x5 ，则x22x52_____________.

6．若m＜0，化简2nm=____________. n

7.若a1b10 ，则 a100b201_____________.

8．下列各式中，是最简二次根式的是（ ） 22 A. B.ab C.ab D.22 3

9.式子x1x1成立的x取值范围为 xx

B．x 1且x0C．x 1 D．x取任意实数 A．x0

10.下列各组式子中，同类二次根式的是（ ）. 327b3ab和 A.3ab和3abc B. 16a3222

C.4341432ba和和 D. abab33a2b

11．mm6mm15m2的值（ ）. 4m

A.是正数 B.是负数 C.是非负数 D.可为正也可为负

212.x＜y，那么化简yx(xy)为（ ）.

A.0 B.2y C.－2x D.2y－2x

13.化简下列各式：（此题中的字母均为正数）

5(x2y2)(xy0) （1）9abc （2）xxy （3）48(xy)234422

（4）

425 5b3 （5） 49a4 （6）221 50

沪科版八年级下册数学(四)
沪科版八年级数学下知识点总结

沪科版八年级数学下册知识总结

一元二次方程知识点：

1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c； 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少. 3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：

Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根； Δ＜0 <=> 无实根； Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）. 4. 一元二次方程的根系关系： 当ax2+bx+c=0 (a≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：

(1)

x1,2

bb24acb

；(2)x1x2，

2aa

x1x2

c

. a

5. 一元二次方程的解法

（1） 直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①x2a(a0)

解为：x②(xa)2b(b0)

解为：xa③(axb)2c(c0)

解为：axb④(axb)2(cxd)2(ac) 解为：axb(cxd)

（2） 因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法

如：ax2bx0(a,b0)x(axb)0 此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为0

x290(x3)(x3)0 x23x0x(x3)0

3x(2x1)5(2x1)0(3x5)(2x1)0

x26x94(x3)24 4x212x90(2x3)20 x24x120(x6)(x2)0 2x25x120(2x3)(x4)0

（3） 配方法

①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：

P2P2

)()q0 22

33

示例：x23x10(x)2()210

22x2Pxq0(x

②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：

ax2bxc0 (a0)a(x2

bbb

x)c0 a(x)2a()2c0 a2a2a

b2b2b2b24ac

a(x)c(x)

2a4a2a4a2

示例： x22x10(x24x)10(x2)22210

（4）公式法：一元二次方程ax2bxc0 (a0)，用配方法将其变形为：

b2b24ac

(x)

2a4a2

1

2121212

①当b24ac0时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根

：

bx1,2

2a

② 当b24ac0时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：x1,2③ 当b24ac0时，右端是负数．因此，方程没有实根。 备注：公式法解方程的步骤：

b 2a

①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：ax2bxc0 (a0)，并确定出a、b、

c

②求出b24ac，并判断方程解的情况。

③代公式：x1,2

※ 5．当ax2+bx+c=0 (a≠0) 时，有以下等价命题：

(以下等价关系要求会用公式 x1x2b

a

a

，x1x2

c

a

；Δ=b2-4ac 分析，不要求背记)

（1）两根互为相反数  b= 0且Δ≥0  b = 0且Δ≥0； （2）两根互为倒数  c=1且Δ≥0  a = c且Δ≥0；

a

（3）只有一个零根  c

a

（4）有两个零根  c

a

= 0且b≠0  c = 0且b≠0； = 0

a

a

且b= 0  c = 0

a

且b=0；

（5）至少有一个零根  c=0  c=0； （6）两根异号  c＜0  a、c异号；

a

（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值 c＜0且b＞0 a、c异号且a、b异号；

aa

（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值 c＜0且b＜0 a、c异号且a、b同号；

aa

（9）有两个正根  c＞0，b＞0且Δ≥0  a、c同号， a、b异号且Δ≥0；

aa

（10）有两个负根  c＞0，b＜0且Δ≥0  a、c同号， a、b同号且Δ≥0.

aa

6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.

ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 或 ax7．求一元二次方程的公式：

x2 -（x1+x2）x + x1x2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数. 8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一 （设增长率为x）： (1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.

（2）常利用以下相等关系列方程： 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年=总和.

9．分式方程的解法：

两边同乘最简

验增根代入最简公分母（或原方程的每个分母），值0.

公分母凑元，设元，

（2）换元法验增根代入原方程每个分母，值0.

换元.(1)去分母法

2

2

bb24acbb24ac. x+bx+c=ax

2a2a



10. 二元二次方程组的解法：

（1）代入消元法方程组中含有一个二元一次方程;（2）分解降次法方程组中含有能分解为（(1)(2)0

(3)注意：应分组为

(3)(4)0

（）

）0的方程;

(1)0(2)0(1)0(2)0

.

(3)0(4)0(4)0(3)0

※11．几个常见转化：

22222

(1)x1x22(x1x2)2x1x2；(x1x2)(x1x2)4x1x2；x

1x2

(x

12

)2；x

1

或x2(x)22；

xx

2

1

(xx)2(xx)24xx(x1x2)121212

x1x2；

22

(x1x2)(x1x2)(x1x2)4x1x2

x12x22(x1x2)22x1x2，

xx211

1， (x1x2)2(x1x2)24x1x2，

x1x2x1x2

|x1x2| x1x22x12x2x1x2(x1x2)，x2x1x12x22(x1x2)24x1x2

 等 x1x2x1x2x1x2

(2)

1.分类为x1x22和x1x22

x1x22 ； 2

2.两边平方为（x1x2）4

(3)

x14

x23

x14x14

(1)分类为和16

x23x23 ； (或2)

9x2(2)两边平方一般不用,因为增加次数.



2x1

(4)如x1sinA,x2sinB且AB90时,由公式sin2Acos2A1,cosAsinB

2

可推出x1x221.

注意隐含条件:x10,x20.

(5)x1,x2若为几何图形中线段长时,可利用图形中的相等关系(例如几何定理，相似形,面积等式,公式)推导出含有x1,x2的关系式.注意隐含条件:x10,x20.

(6)如题目中给出特殊的直角三角形、三角函数、比例式、等积式等条件,可把它们转化为某些线段的比，并且引入“辅助未知元k”.

(7)方程个数等于未知数个数时,一般可求出未知数的值;方程个数比未知数个数少一个时，一般求不出未知数的值,但总可求出任何两个未知数的关系.

二次根式知识点：

知识点一： 二次根式的概念

形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但

必须注意：因为负数没有平方根，所以等是二次根式，而

知识点二：取值范围

，

是

为二次根式的前提条件，如

，

，

等都不是二次根式。

1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，知识点三：二次根式（

注：因为二次根式

（（

）的非负性

）是一个非负数，

即

0（

）。

）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的

）表示a的算术平方根，也就是说，（

没有意义。

算术平方根是0，所以非负数（

）的算术平方根是非负数，即0（），这个性

质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若知识点四：二次根式（

，则a=0,b=0；若）的性质

，则a=0,b=0；若

，则a=0,b=0。

（）

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式也可以反过来应用：若，则知识点五：二次根式的性质

（

）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式，如：

，

.

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简a本身，即2、3、化简知识点六：1、不同点：而

，负实数。但

差别的，

.

时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于

；若a是负数，则等于a的相反数-a,即

一定有意义；

时，先将它化成

与与

与

，再根据绝对值的意义来进行化简。

表示一个正数a的算术平方根的平方，中， 时，

=

；

时，

无意义，而

，而

中a可以是正实数，

。因而它的运算的结果是有

；

中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，

的异同点

表示的意义是不同的，

都是非负数，即

，而

表示一个实数a的平方的算术平方根；在

2

、相同点：当被开方数都是非负数，即

沪科版八年级下册数学(五)
沪科版八年级数学下册教学计划

2014—2015学年度第二学期八年级下册数学教学计划

颜集中心中学 刘玉芳

一、教学指导思想

以2011年《初中数学新课程标准》为准绳，根据学生实际情况，积极开展课堂教学改革，深化教学改革,以促使学生全面、持续、和谐的发展为出发点,课堂中以“学生的发展为本,活动为主线,创新为主旨”,培养学生的创新意识和实践能力为重点,充分体现“新课程、新标准、新教法” 坚持走“教研”之路，努力探索“减负增效”的教育教学模式，从培养学生学数学、用数学的能力入手，持之以恒地开展教研活动提高课堂教学效率，向 45 分钟要质量。一方面巩固学生的基础知识，另一方面提高学生运用知识的能力。特别是训练学生的探究思维能力，和发散式思维模式，提高学生知识运用的能力。

二 学生基本情况分析：

从上期学生期末考试的情况来看，对大部分学生来说，简单的基础知识还能有效的掌握，成绩较好。在学习能力上，学生课外主动获取知识的能力有所进步，也要继续鼓励有条件的孩子拓宽自己的知识视野。本学期中，学生的逻辑推理、逻辑思维能力，计算能力需要得到加强；学生的学习习惯养成，预习的习惯，进行总结的习惯，自习课专心致至学习的习惯，主动纠正错误的习惯，需要进一步加强。

三、教材内容分析

第十六章二次根式， 本章主要是学习二次根式的概念、性质、化简、运算等，掌握二次根式的化简和运算。在后面勾股定理、一元二次方程求根的运算中,都会用到二次根式的相关内容，有利于本章内容的进一步深化.

第十七章 一元二次方程，本章通过实际问题让学生初步体会一元二次方程的概念、并且进一步探究一元二次方程的解法和根的判别式。使学生了解一元二次方程的根与系数的关系，最终掌握一元二次方程的应用。

第十八章勾股定理，本章的主要内容是勾股定理及逆定理的概念。本章要使学生能运用勾股定理解决简单问题、用勾股定理的逆定理判定直角三角形

第十九章四边形，本章的主要内容是掌握各种四边形的概念、性质、判定及它们之间的关系并能应用相关知识进行证明和计算。本章的重点是平行四边形的定义、性质和判定。难点是平行四边形与各种特殊平行四边形之间的联系和区别。

本章的教学内容联系比较紧密，研究问题的思路和方法也类似，推理论证的难度也不大，教学中要注意用“集合”的思想，分清四边形的从属关系，梳理它们的性质和判定方法。

第二十章数据的分析，本章是在前面学习数据的描述的基础上的进一步学习。本章的主要内容是研究平均数、中位数、众数、极差、方差等统计量的统计意义，并能运用这些统计量分析数据的集中趋势和离散情况。

四、本学期教学总体目标：

通过本期的学习，使学生了解引入二次根式的必要性，理解二次根式的意义，经历二次根式性质的探究过程，经历探究二次根式的加减乘除运算法则的过程，学会运用二次根式性质化简二次根式，了解最简二次根式和同类二次根式。会用它们进行有关实数的四则运算。了解一元二次方程及其相关概念，理解一元二次方程解法的基本思想，理解配方法的意义，会用开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，了解勾股定理的证明，会运用勾股定理解决简单的数学实际问题，了解逆命题的概念，理解勾股定理逆定理及其证明，会用勾股定理的逆定理判定直角三角形，培养学生良好的思维习惯，培养学生的爱国主义思想情感。了解四边形的概念及正多边形的概念，了解四边形的不稳定性。掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定定理。掌握平行线间距离处处相等的性质。了解四边形与特殊四边形等概念之间的联系与区别，培养学生的辩证唯物主义观点和分析问题解决问题的能力。理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们对数据集中趋势喝离散程度的刻画，会计算简单数据的方差，体会样本与总体的关系，知道可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数、总体方差，并能解释统计的结果。

五、本期教学内容重难点：

重点；二次根式性质及其计算 ；一元二次方程的解法；勾股定理的逆定理的应用 ；平行四边形性质与判定；数据的集中趋势。

难点；二次根式的运算； 一元二次方程的应用；勾股定理的推导； 矩形，菱形，正方形的性质；数据的离散程度的应用。

六，提高学科教育质量的主要方法措施：

1，、认真学习新的《数学课程标准》，把新课程的基本理念渗透到教与学

的全过程。认真学习教育教学理论，落实课标理念，让学生通过观察、思考、探究、讨论、归纳，主动地进行学习。根据新课程标准，扩充教材内容，认真上课，批改作业，认真辅导，认真制作测试试卷，也让学生学会认真学习。

2、重视学生知识的建构和能力的培养，重视学生的学习过程的展示和学习方法的提炼，重视学生的学习情感的陶冶、学习态度和价值观的导向。引导学生积极参与知识的构建，营造民主、和谐、平等、自主、探究、合作、交流、分享发现快乐的高效的学习课堂，让学生体会学习的快乐，享受学习。引导学生写复习提纲，使知识来源于学生的构造。

3、教学中要树立全新的学习观。学习要转向受教育者，突出学生学习的主体地位。倡导自主学习、探究学习、合作学习和研究性学习，培养学生良好的学习习惯，稳步提高学习成绩，发展学生的非智力因素，弥补智力上的不足。运用新课程标准的理念指导教学，积极更新自己固有的教育理念，不同的教育理念将带来不同的教育效果。进行个别辅导，优生提升能力，扎实打牢基础知识，对差生，一些关键知识，辅导差生过关，为差生以后的发展铺平道路。

七、课时分配

第16章 二次根式 约需10课时

第17章 一元二次方程 约需18课时

第18章 勾股定理 约需8课时

第19章 四边形 约需21课时

第20章 数据的初步分析 约需10课时

八、全学期教学进度安排：

2015年2月28日

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