北师大版九年级数学下册“二次函数的图像与性质”教案

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　　在数学中，二次函数最高次必须为二次， 二次函数(quadratic function)表示形式为y=ax²+bx+c(a≠0)的多项式函数。二次函数的图像是一条对称轴平行于y轴的抛物线。下面是中国招生考试网www.chinazhaokao.com  为大家整理的北师大版九年级数学下册“二次函数的图像与性质”教案，供大家参考。

　　北师大版九年级数学下册“二次函数的图像与性质”教案

　　北京九年级数学下册《二次函数的图像与性质》教案(二) 北师大版

　　课 题 二次函数的图像与性质;

　　学习目标

　　学习重难点

　　教学方法 由典型例题入手，逐渐深入，边讲边练;

　　【相关知识点】

　　1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.

　　2.二次函数 的性质

　　(1)抛物线 的顶点是坐标原点，对称轴是 轴.

　　(2 )函数 的图像与 的符号关系.

　　①当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点;

　　②当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.

　　(3)顶点是坐标原点，对称轴是 轴的抛物线的解析式形式为 .

　　3.二次 函数 的图像是对称轴平行于(包括重合) 轴的抛物线.

　　4.二次函数 用配方法可化成： 的形式，其中 .

　　5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：① ;② ;③ ;

　　④ ;⑤ .

　　6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

　　① 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上;当 时，开口向下;

　　相等，抛物线的开口大小、形状相同.

　　②平行于 轴(或重合)的直线记作 .特别地， 轴记作直线 .

　　7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如 果二次项系数 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

　　8.求 抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法： ，∴顶点是 ，对称轴是直线 .

　　(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为( , )，对称轴是直线 .

　　(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.北师大版九年级数学下册“二次函数的图像与性质”教案。

　　用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

　　9.抛物线 中， 的作用

　　(1) 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.

　　(2) 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线

　　，故：① 时，对称轴为 轴;② (即 、 同号)时，对称轴在 轴左侧;③ (即 、 异号)时，对称轴在 轴右侧.

　　(3) 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.

　　当 时， ，∴抛物线 与 轴有且只有一个交点(0， )：

　　① ，抛物线经过原点; ② ,与 轴交于正半轴;③ ,与 轴交于负半轴.

　　以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .

　　10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

　　函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标

　　当 时

　　开口向上

　　当 时

　　开口向下 ( 轴)

　　(0,0)

　　( 轴)

　　(0, )

　　( ,0)

　　( , )

　　( )

　　11.用待定系数法求二次函数的解析式

　　(1)一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.

　　(2)顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

　　(3)交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式： .

　　12.直线与抛物线的交点

　　(1) 轴与抛物线 得交点为(0, ).

　　(2)与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( , ).

　　(3)抛物线与 轴的交点北师大版九年级数学下册“二次函数的图像与性质”教案。

　　二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元二次方程 的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

　　①有两个交点 抛物线与 轴相交;

　　②有一个交点(顶点在 轴上) 抛物线与 轴相切;

　　③没有交点 抛物线与 轴相离.

　　(4)平行于 轴的直线与抛物线的交点

　　同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是 的两个实数根.

　　(5)一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点，由方程组 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时 与 有两个交点; ②方程组只有一组解时 与 只有一个交点;③方程组无解时 与 没有交点.

　　(6)抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与 轴两交点为 ，由于 、 是方程 的两个根，故

　　【典型例题】

　　1.(2011?温州)已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( )

　　A.有最小值0，有最大值3

　　B.有最小值-1，有最大值0

　　C.有最小值-1，有最大值3

　　D.有最小值-1，无最大值

　　2.(2011?烟台)如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( )

　　A.m=n，k>h

　　B.m=n ，k<h

　　C.m>n，k=h

　　D.m<n，k=h

　　3.(2011?宿迁)已 知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是( )

　　A.a>0

　　B.当x>1时，y随x的增大而增大

　　C.c<0

　　D.3是方程ax2+bx+c=0的一个根

　　4.(2011?泰安)若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：

　　x -7 -6 -5 -4 -3 -2

　　y -27 -13 -3 3 5 3

　　则当x=1时， y的值为

　　A.5 B.-3 C.-13 D.-27

　　5.(2010?天津)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：

　　①b2-4ac>0;

　　②abc>0;

　　③8a+c>0;

　　④9a+3b+c<0.

　　其中，正确结论的个数是( )

　　A.1 B.2 C.3 D.4

　　6.(2011?济宁)将二次函数y=x2-4x+5化成 y=(x-h)2+ k的形式，则y=________.

　　7.(2011?舟山)如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(-1,0)，(1，-2)，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是______.

　　8.(2011?湖州)如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点(0，-3)，请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在(1,0)和(3,0)之间，你所确定的b的值是________.

　　9.(2011?日照)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分，给出下列命题 ：

　　①a+b+c=0;②b>2a;③ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1;

　　④a-2b+c>0.其中正确的命题是________.(只要求填写正确命题的序号)

　　10.(2011?茂名)给出下列命题：

　　命题1：点(1,1)是双曲线y=1x与抛物线y=x2的一个交点.

　　命题2：点(1,2)是双曲线y=2x与抛物线y=2x2的一个交点.

　　命题3：点(1,3)是双曲线y=3x与抛物线y=3x2的一个交点.

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　　请你观察上面的命题，猜想出命题n(n是正整数)：________________________________.

　　11.(2011?东莞)已知抛物线y=12x2+x+c与x轴没有交点.

　　(1)求c的取值范围;

　　(2)试确定直线y=cx+1经过的象限，并说明理由.

　　12.(2011?南京)已知函数y=mx2-6x+1(m是常数).

　　(1)求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点;

　　(2)若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值.

　　13.(2011?江津)已知双曲线y=kx与抛物线y=ax2+bx+c交于A(2,3)、B(m,2)、c(-3，n)三点.

　　(1)求双曲线与抛物线的解析式;

　　(2)在平面直角坐标系中描出点A、点B、点C，并求出△ABC的面积.

　　【巩固练习】

　　⒈抛物线y=-x2 的顶点坐标为 ;若点(a，4)在其图象上，则a的值是 ;若点A(3，m)是此抛物线上一点，则m= .

　　2.函数y=x2与y=-x2的图象关于 对称，也可以认为函数y=-x2的图象，是函数y=x2的图象绕 旋转得到的.

　　⒊抛物线 与直线 交于(1， )，则其解析式为 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当 时，y随x的增大而 ，当x= 时，函数y有最 值，是 .

　　⒋已知a<-1，点(a-1，y1)、(a，y2)、(a+1，y3)都在函数y= —x2的图象上，则( )

　　A.y1<y2<y3 B.y1<y3 <y2 C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3

　　⒌如图，A、B分别为y=x2上两点，且线段AB⊥y轴，若AB= 6，则直线AB的表达式为( )

　　A.y=3 B.y=6 C.y=9 D.y=36

　　⒍对于 的图象下列叙述正确的是 ( )

　　A 的值越大，开口越大 B 的值越小，开口越小

　　C 的绝对值越小，开口越大 D 的绝对值越小，开口越小

　　7、已知二次函数 的图像经过点A(1,0),并经过一次函数 的图像与y轴的交点B，如果B到x轴的距离是3。求一次函数和二次函数的解析式。

　　8、已知二次函数

　　(1)用配方法化为 的形式

　　(2)求它的顶点坐标和对称轴方程。

　　(3)根据图像指出，当x取何值时，y随x值的增大而减小。 (4)当x取何值时，y有最大(小)值，值是多少?

　　(5)求抛物线和x轴的交点坐标、和y轴的交点坐标。

　　(6)根据图像指出，当x取何值时 。

　　9、已知抛物线 如图1-9-5所示，对称轴是直线 。

　　(1) 确定a、b、c， 的符号，

　　(2) 求证

　　(3) 当x取何值时，y随x值的增大而减小。

　　10、已知，如图，直线 经过 和 两点， 它与抛物线 在第一象限内相交于点P，又知 的面积为 ，求 的值;

　　11、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径长为2，大圆的弦AB与小圆交于点C、D，且∠COD=60°，CD=CA。

　　(Ⅰ)求大圆半径的长;

　　(Ⅱ)若大圆的弦AE与小圆切于点F，求AE的长.

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