人教版数学最短路径造桥选址导学案

导读：　人教版数学最短路径造桥选址导学案(共5篇)...

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人教版数学最短路径造桥选址导学案(一)
造桥选址问题教案

13.4 课题学习 最短路径问题（2）

造桥选址问题

教师：朱巧

一、教学目标

1、知识与技能

理解利用平移的方法，解决最短路径问题。

2、过程与方法

（1）在观察、操作、归纳等探索过程中，培养学生的实际动手能力；

（2）在运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳最短路径选取的方法。

3、情感态度与价值观

（1）体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心；

（2）会应用数学知识解决一些简单的实际问题，增强应用意识；

（3）使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。

二、教学重点和难点

1、教学重点

理解如何利用平移，解决造桥选址中的最短路径问题。

2、教学难点

理解路径最短的证明方法。

三、教具：多媒体、三角板

四、教学过程

（一）、知识点回顾

1、两点所有的连线中，线段最短。

2、连接直线外一点与直线上各点的所以线段中，垂线段最短。

应用1：利用轴对称的方法解决最短路径选取问题。

利用轴对称的方法把已知问题转化为容易解决的问题，这是“两点的所有连线中，线段最短”的应用。

（二）、提出问题

如果把一条直线l变成两条直线，会变成生活中的什么问题呢？

（三）、新课学习【人教版数学最短路径造桥选址导学案】

图（1） 图（2）

环节一：（情境设置）简单介绍著名桥梁专家茅以升.

环节二：把实际问题转化为数学问题.

如上图（1），A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）

分析图（2）：把河的两岸看成两条平行线a 和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题，当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？

引导学生发现，由于河宽是固定的，即MN不变，求AM+MN+NB的最小值只要求AM+NB的最小值即可。

环节三：请同学们各抒己见如何求AM+MN+NB的最小值.

环节四：用几何画板展示造桥选址问题.

通过几何画板的动画演示，让学生找到动点N在什么位置时, AM+MN+NB最小。 环节五：如何证明AM+MN+NB<AM1M1N1N1B ?

环节六：引导学生归纳方法：利用平移变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而做出最短路径的选择。

（四）、拓展应用

拓展1：如图，如果A、B两地之间有两条平行的河，

我们要建的桥都是与河岸垂直的。我们如何找到这个

最短的距离呢？

（请学生分组讨论，如何作图，并请学生代表上台演示）

拓展2：如图，荆州古城河在CC`处直角拐弯，从A处到

达B处，需经两座桥：DD`,EE`(桥宽不计），设护城河以

及两座桥都是东西、南北方向的，如何架桥可使

ADD`E`EB的路程最短？

（请学生分组讨论，如何作图，并请学生代表上台演示）

（五）、小结：造桥选址问题，要使所得到的路径最短，就是要通过平移，使得除桥长不变外，把其它路径平移在一条直线上，从而做出最短路径的选择。这是“两点所有的连线中，线段最短”的第二个应用。

板书设计：

人教版数学最短路径造桥选址导学案(二)
最短路径问题-优秀导学案

《最短路径问题--课题复习》导学案

学校：____________ 班级_______ 日期_______________ 授课人：太平一中 胡雪平

导学目标:1.复习最短路径问题的解决方法和思想。 2.能利用轴对称或平移解决实际问题中路径最短的问题。

3.通过独立思考，合作探究，培养运用数学知识解决实际问题的能力，感受收获的快乐。

导学重点：掌握运用轴对称或平移解决生活中路径最短的问题。

导学难点：掌握确定出最短路径的常用方法。

导学过程：

一、回首旧知

1.基础知识回顾

(1)两点的所有连线中，

(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，。 (3)三角形的任意两边之和_________第三边，任意两边之差________第三边。

(3) 线段垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离____________。

2.基本方法回忆

（1）求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小 （作图并说明理由）

分析：直接运用两点之间线段最短解决

A·

·B

（2）求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小 （作图并说明理由）

分析：运用轴对称将所求线段之和转化为一条线段的长。

·B

A·

（3）在图中两条直线上分别求一点M、N使三角形MAN的周长最小。

分析：如何运用轴对称将三条线段（三个边）之和转化为一条线段的长。

l l

（4）造桥选址问题中的最短路径问题：从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两

岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？

分析：选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上.在解决最短路径问题时,我们还可以利用平移变

换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上,从而作出最短路径的方法来解决问题．

思考：沿哪个方向平移可以把AM和BN对接到一起？

3.小组合作归纳：在解决最短路径问题时，我通常利用__________、___________等变化，把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。

二．变式训练

1.如图,A.B是直线a同侧的两定点,定长线段PQ在a 上平行移动,问PQ移动到什么位置时,AP+PQ+QB的长最短？

3.某班举行晚会,桌子摆成如图所示两直排(AO,BO),AO桌面上摆满了橘子,OB桌面上摆满了糖果,坐在C处的小明先拿橘子再拿糖果,然后到D处座位上,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短？

三．实际应用

要在两条街道a和b上各设立一个邮筒,M处是邮局,问邮筒设在哪里才能使邮递员从邮局出发,到两个邮筒取完信再回到邮局的路程最短？

四．小结

五．作业

1、如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请画出旅游船的最短路径．

2如图，牧马营地在点p处，每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃草，再到河边b饮水，最后回到营地，请你设计一条放牧路线，使其所走的总路程最短.

人教版数学最短路径造桥选址导学案(三)
课题学习：最短路径问题导学案

八年级数学导学案10月28日

13.4课题学习：最短路径问题

导学目标:

1.理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定。

2.能利用轴对称平移解决实际问题中路径最短的问题。

3.通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。

导学重点：将实际问题转化成数学问题，运用轴对称平移解决生活中路径最短的问题，确

定出最短路径的方法。

导学难点：探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理。

导学过程：

一、创设情景，引入新知。

(1)我们已经学习过“两点的所有连线中， 。”和“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， ”等问题，我们称他们为最短路径问题。

(2) 请画出点A关于直线L的对称点。

A．

_______________________ L

二、自主学习，探究新知。

1、探究问题：如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？

（I）两点在一条直线异侧：

1

活动1: 已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得这个点到点AB的距离和最短，即PA+PB最小。

思考：（1）为什么这样做就能得到最短距离呢？

（2）你如何验证PA+PB最短呢？

(Ⅱ) 两点在一条直线同侧

活动2：如图，牧马人从A地出发到一条笔直的河边

L饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可是所走的路径最短？这个问题可以转化为;当点C在什么位置时。AC与BC的和最小。

B

A

保持CB 与CB′的长度相等？

（2）你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？

（3）试证明你的结论。

作法：1.作点A关于L的对称点_____，

2.连接_______,交直线L与_______,

则点_______就是所要求作的点

想一想：如果A、B处于小河的两侧，在河上建一座与两岸垂直的桥,你能找到所走最短路径吗？

2、探究问题：造桥选址问题中的最短路径问题

活动3，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？

l B 思考：（1） 如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都

思考：①怎样将实际问题转化为数学问题？【人教版数学最短路径造桥选址导学案】

②若直线重合，最短路径是什么？

2【人教版数学最短路径造桥选址导学案】

③若将直线平移开，怎样思考该问题？

④怎样解决造桥选址问题？

作法：如图（2），将点A沿与和垂直的方向平移MN的距离到C.连接BC交河岸与点N，在此处造桥MN，所得路程AMNB就是最短路程。

归纳：在解决最短路径问题时，我通常利用__________、___________等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。

(Ⅲ)一点在两相交直线内部

问题：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.

归纳：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小

四、检测展示，反馈新知

2．如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短

1. 如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．

3

(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？

(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？

3. 如下图，牧马营地在点p处，每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃草，再到河边b饮水，最后回到营地，请你设计一条放牧路线，使其所走的总路程最短.

4：(实际应用题)茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

五:、学后反思，升华新知

六：作业

4

人教版数学最短路径造桥选址导学案(四)
最短路径问题导学案

人教版数学最短路径造桥选址导学案(五)
最短路径问题导学案

最短路径问题

姓名_________学号_____________

学习目标：1.理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为

最小值时点的位置的确定。

2.能利用轴对称平移解决实际问题中路径最短的问题.

活动一，情景引入

1．如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？

2． 已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得这个点到点AB的距离和最短，即PA+PB最小。 你认为该怎样在直线L求出这一点P呢？聪明的你一定能够完成的。

思考：如果A，B两点在直线L的同一侧时你能在直线L求一点P，使它到A，B的距离和最短吗？

活动二，探究新知

探究（一） 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：

从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？

精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 请你用所学的知识设计出这个最短路线。

探究（二）

有一道有趣的造桥选址问题，充分体现了利用平移变换实现问题转化，从而有效求解．我们一起关注：

问题：如图1，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？ 你能将这个问题抽象为数学问题吗？请你用所学的知识设计出这个造桥选址使从A到B的路径AMNB最短。

活动三，运用新知

要在河边修建一个水泵，分别向张村、李庄，修在河边什么地方，可使所用水管最短？

活动四，巩固练习

如下图，牧马营地在点p处，每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃草，再到河边b饮水，最后回到营地，请你设计一条放牧路线，使其所走的总路程最短.

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