导读: 初升高数学衔接课教案(共5篇)...
本文是中国招生考试网(www.chinazhaokao.com)成考报名频道为大家整理的《初升高数学衔接课教案》,供大家学习参考。
初升高数学衔接课教案(一)
初升高数学衔接教案1
第六讲 二次函数及二次不等式
一 复习巩固二次函数的最值求法
练习1求函数
yx22x3分别在以下区间上的最值:
(1)x2,0 (2)x2,4 (3)x0,2
2.求二次函数y2x23x5在2x2上的最大值和最小值,并求对应的x的值.
3 求函数
4 求函数
5 求函数
2
f(x)x14在区间2,a上的最小值。
2
f(x)x13在区间a,a2上的最小值。
2
f(x)xa3,x1,2的最小值。
二 一元二次不等式的解法
引例 二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图像如图所示,根据图像解答下列问题: (1) 写出方程ax+bx+c =0的两个根; (2) 写出不等式ax+bx+c >0的解集; (3)写出不等式ax+bx+c《0的解集
知识点一:一元二次不等式的定义
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式。比如:
.
2
222
任意的一元二次不等式,总可以化为一般形式
:
.
知识点二:一般的一元二次不等式的解法 一元二次不等
式
或
的图象,图象在
的解集,图象在
解集.
设一元二次方程
的不等式的解集的各种情况如下表:
的两根为
且
,
或
的解集可以联系二次函
数
轴上方部分对应的横坐标
值的集合为不等式
值的集合为不等
式
的
轴下方部分对应的横坐标
,则相应
例1 解下列一元二次不等式 (1)
; (2)
对应练习 解下列不等式 (1)
(4)
(7) 2x+3x+4<0; (8)
2
; (3)
(4)x23x10
; (2) (3) ;
. (5) 14-4x≥x; 6) x+x+1>0;
22
; (9) ;
(10)
; (11)
(5)解集为;
(6)解集为R; (7)解集为;(8);
(9)课后作业
;(10);(11).
一、解下列一元二次不等式:
1、x25x60 2、x25x60 3、x27x120
4、x27x60 5、x2x120 6、x2x120
7、x22x30 8、6x2x20 9、x23x50
10、6x225x140 11、20x241x90 11、(x2)(x3)6
初升高数学衔接课教案(二)
初升高数学衔接教案一
授课教案
学员姓名:_______授课教师:___程小胜__ 所授科目:__数学________
在二次根式的化简与运算过程中,二次根式的乘法可参照多项式乘法进行,运算中要运用
公式a0,b0);而对于二次根式的除法,通常先写成分式的形式,然后通过分母有理化进行运算;二次根式的加减法与多项式的加减法类似,应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.2
a
4.1.分式的意义形如a,a0, a,a0.AAA的式子,若B中含有字母,且B0,则称为分式.当M≠0时,分式具有下BBBAAMAAM列性质:; .左述性质被称为分式的基本性质. BBMBBM
a
mnp 2.繁分式像,这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式. cdnp
5. 分解因式:⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变化叫做把这个多项式分解因式。
⑵方法:①提公因式法,②运用公式法,③分组分解法,④十字相乘法。
6.一元二次方程根的判别式我们知道,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),用配方法可因为a≠0,所以,4a2>0.于是(1)当b2-4ac>0时,方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不b2b24ac)以将其变形为(x. ① 22a4a
b相等的实数根 x1,2
=; 2a
(2)当b2-4ac=0时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个等的实数根 x1=x2=-
(3)当b2-4ac<0时,方程①的右端是一个负数,而方程①的左边(xb; 2ab2)一定大于或等于零,因此,原2a
方程没有实数根.由此可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可以由b2-4ac来判定,我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用符号“Δ”来表示.
综上所述,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),有
(1)当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根 x1,2
(2)当Δ=0时,方程有两个b相等的实数根 x1=x2=-;(3)当Δ<0时,方程没有实数根. 2a
若一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)有两个实数根
x1
,x2, 2
2
bb则有
x1x2;
2aa
bbb2(b24ac)4acc x1x22. 22a2a4a4aa
所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系: 如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是x1,x2,那么x1+x2=
bc,x1·x2=.这一关系也被称为韦aa
达定理.特别地,对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0,若x1,x2是其两根,由韦达定理可知 x1+x2=-p,x1·x2=q, 即 p=-(x1+x2),q=x1·x2,
22 所以,方程x+px+q=0可化为 x-(x1+x2)x+x1·x2=0,由于x1,x2是一元二次方程x2+px+q=0的
两根,所以,x1,x2也是一元二次方程x2-(x1+x2)x+x1·x2=0.因此有
以两个数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 x2-(x1+
x2)x+x1·x2=0. 6一元一次方程:⑴在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的指数是
1,这样的方程叫一元一次方程⑵解一元一次方程的步骤:去分母,移项,合
并同类项,未知数系数化为1。⑶关于方程axb解的讨论
①当a0时,方程有唯一解xb
a;②当a0,b0时,方程无解③当
a0,b0时,方程有无数解;此时任一实数都是方程的解。
7.二次函数y=ax2(a≠0)的图象可以由y=x2的图象各点的纵坐标变为原来的
a倍得到.在二次函数y=ax2(a≠0)中,二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小. 图2.2-1
二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)中,a决定了二次函数图象的开口大小及方向;h决定了二次函数图象的左右平移,而且“h正左移,h负
右移”;k决定了二次函数图象的上下平移,而且“k正上移,k负下移”. (1)当a>0时,函数y=ax2+bx+c图象开口向上;顶点坐标为
b4acb2
(bb2a,4a),对称轴为直线x=-2a;当x<2a时,y随着x的增大而减小;当x>b
2a时,y随着x的增大而增大;当x=b
2a时,函数取最小值y=4acb2
4a.
(2)当a<0时,函数y=ax2+bx+c图象开口向下;顶点坐标为
(b4acbb
2a,b2
4a),对称轴为直线x=-2a;当x<2a时,y随着x的增大而增大;当x>b
2a时,y随着x的增大而减小;当x=b
2a时,图2.2-2
函数取最大值y=4acb2
4a.
例题分析: 两个数的差的绝对值的几何意义:ab表示在数轴上,数a和数b之间的距离.
例1 解不等式:x1x3>4 (两种方法)
1.填空:(1)若x5,则x=_________;若x4,则x=_________.
(2)如果ab5,且a1,则b=________;若c2,则c=________.
2.选择题:下列叙述正确的是( )(A)若ab,则ab (B)若ab,则ab
(C)若ab,则ab (D)若ab,则ab
3.化简:|x-5|-|2x-13|(x>5).
例2计算:(x1)(x1)(x2x1)(x2x1).
例2 -- 已知abc4,abbcac4,求a2b2c2的值.
1.填空:(1)121211ab(ba)( );(2)(4m )216m24m( 9423
);
(3)(a2bc)2a24b2c2( ).
2.选择题(1)若x12121212mxk是一个完全平方式,则k等于( )(A)m(B)m(C)m(D)m 43162
22(2)不论a,b为何实数,ab2a4b8的值 ( ) 2
(A)总是正数(B)总是负数 (C)可以是零 (D)可以是正数也可以是负数
例3.1.将下列式子化为最简二次根式:(1
(2
a0);(3
x0).
2.
(3 3.试比较下列各组数的大小:(1【初升高数学衔接课教案】
(2
和 4.
化简:20042005. 5.化简:(1
; (2
.5.
已知3x25xy3y2的值 x1)xy怜惜1.填空:(1
=__ __;(2)
(x则x的取值范围是; (3
)__ ___; (4
)若x
2.选择题:
成立的条件是()(A)x2 (B)x0 (C)x2 (D)0x2 3
.若b,求ab的值.4.比较大小:2
4(填“>”,或“<”). a1
1115x4AB例4 1.若,求常数A,B的值.2.(1)试证:(其中n(n1)nn1x(x2)xx2
111n是正整数);(2)计算:;(3)证明:对任意大于1的正整数n, 有1223910
c1111 3.设e,且e>1,2c2-5ac+2a2=0,求e的值. a2334n(n1)2
111); nn2n(n2)5462xy2x,则=( )2.选择题:若(A)1 (B) (C) (D) 545yxy3
1111xy22...3.正数x,y满足xy2xy,求的值.4.计算. 12233499100xy练习1.填空题:对任意的正整数n,
1.十字相乘法例5 1.分解因式:(1)x2-3x+2;(2)x2+4x-12;(3)x2(ab)xyaby2
(4)2.分解因式:(1)x393x23x;(2)2x2xyy24x5y6.3.把下列关于x的二次
多项式分解因式:(1)x22x1;(2)x24xy4y2.
练习1.选择题:多项式2x2xy15y2的一个因式为( )(A)2x5y(B)x3y(C)x3y(D)x5y
2.分解因式:(1)x2+6x+8;(2)8a3-b3;(3)x2-2x-1;(4)4(xy1)y(y2x)
例6. 1.判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数),如果方程有实数根,写出方程的实数根.
(1)x2-3x+3=0; (2)x2-ax-1=0; (3) x2-ax+(a-1)=0; (4)x2-2x+a=0.
2.已知方程5xkx60的一个根是2,求它的另一个根及k的值.
3.已知关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根,并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求m的值.
4.已知两个数的和为4,积为-12,求这两个数.
5.若x1和x2分别是一元二次方程2x2+5x-3=0的两根(1)求| x1-x2|的值(2求211的值3x13+x23. 22x1x2
6.若关于x的一元二次方程x2-x+a-4=0的一根大于零、另一根小于零,求实数a的取值范围
练习1.选择题:(1
)方程x3k0的根的情况是( )(A)有一个实数根(B)有两个不相等的实数根 (C)有两个相等的实数根 (D)没有实数根
(2)若关于x的方程mx2+ (2m+1)x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是 22
1111(B)m>- (C)m<,且m≠0 (D)m>-,且m≠0 4444
112.填空:(1)若方程x2-3x-1=0的两根分别是x1和x2,则= x1x2( )(A)m<
(2)方程mx2+x-2m=0(m≠0)的根的情况是 .
(3)以-3和1为根的一元二次方程是 .
3
|b1|0,当k取何值时,方程kx2+ax+b=0有两个不相等的实数根?
4.已知方程x-3x-1=0的两根为x1和x2,求(x1-3)( x2-3)的值.【初升高数学衔接课教案】
例7例1 求二次函数y=-3x2-6x+1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值),并指出当x取何值时,y随x的增大而增大(或减小)?并画出该函数的图象.
2.某种产品的成本是120元/件,试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间关系
少元?此时每天的销售利润是多少?
223.把二次函数y=x+bx+c的图像向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到函数y=x的图像,
求b,c的值.
4. 已知函数y=x2,-2≤x≤a,其中a≥-2,求该函数的最大值与最小值,并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值.
1.选择题:(1)下列函数图象中,顶点不在坐标轴上的是( )
(A)y=2x2 (B)y=2x2-4x+2 (C)y=2x2-1(D)y=2x2-4x
(2)函数y=2(x-1)2+2是将函数y=2x2( )
(A)向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的(B向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的
(C)向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的(D向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
2.填空题(1)二次函数y=2x2-mx+n图象的顶点坐标为(1,-2),则m= ,n= .
(2)已知二次函数y=x2+(m-2)x-2m,当m=y轴上;当m=
初升高数学衔接课教案(三)
初升高数学衔接教案3
第八讲 方程和方程组
例1 解方程 ① x-2x-4x+8=0. ② (x-2)(x+1)(x+4)(x+7)=19.③ 12x4-56x3+89x2-56x+12=0.
3
2
x1=x2=2,x3=-
2
例3、解方程组
例4.解方程组
例5、解方程组
对应练习 解方程组
1.
2.
例5、k为何值时,方程组
(1)有一个实数解,并求出此解;(2)有两个实数解;(3)没有实数解. 解:
将①代入②,整理得k2x2+(2k-4)x+1=0 ③
△=(2k-4)2-4×k2×1=-16(k-1).
3x2y29x11x22对应练习 ①方程组的两组解是,不解方程组,
yy1212xy5
求1221的值。
分析:将y5x代入①得
x的一元二次方程,1、2是两根,可用根与系数的关
系,将151,252代入1221后,用根与系数的关系即可求值。
答案:
53
3
y24xxx1xx2
②已知方程组的两组解是和且x1x10,x1≠x2,设
yy1y2xnyy2
m
11
。 x1x2
(1)求n的取值范围;
(2)试用含n的代数式表示出m;
(3)是否存在这样的n值,使m的值等于1?若存在,求出所有这样的n值,若不存
在,请说明理由。
01
略解:(1)将②代入①化简,由n<且n≠0
2x1x20
(2)利用根与系数的关系得:m
4(1n)1(<且n≠0= n
2n2
4(1n)
1n2
(3)n222
n1且n02
课后作业练习 解方程 1. 2x22x3
2
x2x
经检验,x12,x21都是原方程的根. 2.
(x1)(x2)(x3)(x4)2 原方程的根是x1=2,x2=3
xy3,xy2;
3. 3x15x2x5x12 4.
2
2
x=1或 x=4
x10,x25
初升高数学衔接课教案(四)
初高中数学衔接课教案
第一讲 数与式
1.1 数与式的运算
1.1.1.绝对值
绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即
a,a0,
|a|0,a0,
a,a0.
绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离.
两个数的差的绝对值的几何意义:ab表示在数轴上,数a和数b之间的距离.
例1 解不等式:xx3>4.
解法一:由x10,得x1;由x30,得x3; ①若x1,不等式可变为(x1)(x3)4, 即2x4>4,解得x<0, 又x<1, ∴x<0; ②若1x2,不等式可变为(x1)(x3)4, 即1>4, ∴不存在满足条件的x; ③若x3,不等式可变为(x1)(x3)4, 即2x4>4, 解得x>4. 又x≥3, ∴x>4.
综上所述,原不等式的解为 x<0,或x>4.
解法二:如图1.1-1,x表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|,即|PA|=|x-1|;|x-3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|,即|PB|=|x-3|.
|x-3|
所以,不等式xx3>4的几何意义即为
|PA|+|PB|>4. 由|AB|=2,可知
点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧.
x<0,或x>4.
|x-1|
图1.1-1
练 习
1.填空:
(1)若x5,则x=_________;若x4,则x=_________.
(2)如果ab5,且a1,则b=________;若c2,则c=________. 2.选择题:
下列叙述正确的是 ( )
(A)若ab,则ab (B)若ab,则ab (C)若ab,则ab (D)若ab,则ab 3.化简:|x-5|-|2x-13|(x>5).
1.1.2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:
(1)平方差公式 (ab)(ab)a2b2;
222
(2)完全平方公式 (ab)a2ab.b 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:
23
(1)立方和公式 (ab)(a ab2b)3a;b
23
(2)立方差公式 (ab)(a ab2b)3a;b
2222
(3)三数和平方公式 (abc c)abc2(abbc;)a
3323
(4)两数和立方公式 (ab) a3ab3a2b;b
332(5)两数差立方公式 (ab) a3ab3a2b.b对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明. 例1 计算:(x1)(x1)(x2x1)(x2x1). 222
(x1)x解法一:原式=(x21)
=(x21)(x4x21)
=x61.
解法二:原式=(x1)(x2x1)(x1)(x2x1) =(x31)(x31) =x61.
例2 已知abc4,abbcac4,求a2b2c2的值. 解: a2b2c2(abc)22(abbcac)8. 练 习
1.填空:
121211
ab(ba)( ); 9423
22
(2)(4m )16m4m( );
(1)
2222
(3 ) (a2bc)a4bc( ). 2.选择题:
1
mxk是一个完全平方式,则k等于 ( ) 2
1212122
(A)m (B)m (C)m (D)m
416322
(2)不论a,b为何实数,ab2a4b8的值 ( )
(1)若x
2
(A)总是正数 (B)总是负数
(C)可以是零 (D)可以是正数也可以是负数
1.1.3.二次根式【初升高数学衔接课教案】
a0)的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如
3a
2b
2
1,x2
y2 1.分母(子)有理化
把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)有理化,需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为有理化因式
,例如
一般
地,
b与b互为有理化因式.
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中,二次根式的乘法可参照多项式乘法进行,
a0,b0);而对于二次根式的除法,通常先写成分式的形式,然后通过分母有理化进行运算;二次根式的加减法与多项式的加减法类似,应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.
2
a
a,a0,
a,a0.
例1 将下列式子化为最简二次根式:
(1
) (2
a0); (3
x0). 解: (1
(2
a0); (3
2x2xx0).
例2
(3. 解法一:
(3
3)
=
3
931)
=
61
=.
2解法二:
(3
=)
例3 试比较下列各组数的大小:
(1
)
(2
解: (1
.
,
11
10
又 4>22,
6+4>6+22,
例4
化简:20042005.
(2
)∵
解:20042005
=20042004
=
=12004
2004
例 5 化简:(1
; (2
x1). 解:(1
)原式
2
2.
(2)原式
=1
xx,
∵0x1, 1
x
1x, 所以,原式=1
xx.
例 6
已知xy
3x25xy3y2的值 . 解:
∵xy
2210,
xy
1, ∴3x25xy3y23(xy)211xy310211289.
练 习
1.填空: (1
__ ___;
(2
(xx的取值范围是;
(3
)__ ___; (4
)若x
2.选择题:
成立的条件是 ( (A)x2 (B)x0 (C)x2 (D)0x2
3
.若b
,求ab的值.
4.比较大小:24(填“>”,或“<”).
)
初升高数学衔接课教案(五)
初升高衔接初中一元二次方程教案
一元二次方程教案
一、一元二次方程的概念:
问题(1)有一面积为54m2的长方形,将它的一边剪短5m,另一边剪短2m,恰好变成一个正方形,那么这个正方形的边长是多少?
如果假设剪后的正方形边长为x,那么原来长方形长是________,宽是_____,根据题意,得:_______.
整理,得:________.
归纳:
(1)只含一个未知数x;(2)最高次数是2次的;(3)•整式方程.
因此,像这样的方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.
一般地,任何一个关于x的一元二次方程,•经过整理,•都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后,其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.
例1.将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.
例2.将方程(x+1)2+(x-2)(x+2)=•1化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项、二次项系数;一次项、一次项系数;常数项.
练习:判断下列方程是否为一元二次方程?
(1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-5 =0 (4) x2-4=(x+2) 2 (5) ax2+bx+c=0 x
例3.求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不论m取何值,该方程都是一元二次方程.
练习: 一、选择题
1.在下列方程中,一元二次方程的个数是( ).
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③(x-2)(x+5)=x2-1 ④3x2-5=0 x
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.方程2x2=3(x-6)化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为( ).
A.2,3,-6 B.2,-3,18 C.2,-3,6 D.2,3,6
3.px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程,则( ).
A.p=1 B.p>0 C.p≠0 D.p为任意实数
二、填空题
1.方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________,一次项系数为_________,常数项为
_________.
2.一元二次方程的一般形式是__________.
3.关于x的方程(a-1)x2+3x=0是一元二次方程,则a的取值范围是________.
三、综合提高题
1、a满足什么条件时,关于x的方程a(x2+x)
(x+1)是一元二次方程?
2、关于x的方程(2m2+m)xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗?为什么?
3、方程(2a—4)x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程?在什么条件下此方程为一元一次方程?
4、当m为何值时,方程(m+1)x
/4m/-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程
二、一元二次方程的解:
复习:方程的解
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.(只含有一个未知数的方程的解,又叫方程的根)
例1.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根?
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.
例2.若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值
练习:关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0的一个根为0,则求a的值
例3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗?
(1)x2-64=0 (2)3x2-6=0 (3)x2-3x=0
三、一元二次方程的解法
(一)、直接开平方法
问题1.填空
(1)x2-8x+______=(x-______)2;(2)9x2+12x+_____=(3x+_____)2;(3)x2+px+_____=(x+______)2.
问题2:目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元?一元二次方程与一元一次方程有
什么不同?二次如何转化成一次?怎样降次?以前学过哪些降次的方法?
方程x2=9,根据平方根的意义,直接开平方得x=±3,如果x换元为2t+1,即(2t+1)2=9,能否也用直接开平方的方法求解呢?
例1:解方程:(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1
例2.市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m,求每年人均住房面积增长率.
解一元二次方程的共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.•这种思想称为“降次转化思想”. 由应用直接开平方法解形如x2=p(p≥0),那么x=
转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0),那么mx+n=
之目的.若p<0则方程无解
练习:一、选择题
1.若x2-4x+p=(x+q)2,那么p、q的值分别是( ).
A.p=4,q=2 B.p=4,q=-2 C.p=-4,q=2 D.p=-4,q=-2
2.方程3x2+9=0的根为( ).
A.3 B.-3 C.±3 D.无实数根
二、填空题
1.若8x2-16=0,则x的值是_________.
2.如果方程2(x-3)2=72,那么,这个一元二次方程的两根是________.
3.如果a、b
2-12b+36=0,那么ab的值是_______.
三、综合提高题
1.解关于x的方程(x+m)2=n.
(二)、配方法
1、解下列方程
(1)3x2-1=5 (2)4(x-1)2-9=0 (3)4x2+16x+16=9 (4) 4x2+16x=-7
上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得
x=
. mx+n=
p≥0)
如:4x2+16x+16=(2x+4)2 ,你能把4x2+16x=-7化成(2x+4)2=9吗?
2、要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且面积为16m,场地的长和宽各是多少? 转化: x2+6x-16=0移项→x2+6x=16
两边加(6/2)2使左边配成x2+2bx+b2的形式 → x2+6x+32=16+9
左边写成平方形式 → (x+3)2=•25 •降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5
解一次方程→x1=2,x2= -8
可以验证:x1=2,x2= -8都是方程的根,但场地的宽不能使负值,所以场地的宽为2m,2
常为8m.
像上面的解题方法,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫配方法.通过配方使左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程的方程
配方法解一元二次方程的一般步骤:
(1)将方程化为一般形式;(2)二次项系数化为1;(3)常数项移到右边;
(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式;
(5)变形为(x+p)2=q的形式,如果q≥0,方程的根是x=-p±√q;如果q<0,方程无实根. 例1.用配方法解下列关于x的方程
(1)x2-8x+1=0 (2)x2-2x-1=0 2
例2.解下列方程
(1)2x2+1=3x (2)3x2-6x+4=0 (3)(1+x)2+2(1+x)-4=0
例3求证:无论y取何值时,代数式-3 y2+8y-6恒小于0
例4、用配方法解方程 :ax2+bx+c=0(a≠0)
练习: 一、选择题
1.将二次三项式x2-4x+1配方后得( ).
A.(x-2)2+3 B.(x-2)2-3 C.(x+2)2+3 D.(x+2)2-3
2.已知x2-8x+15=0,左边化成含有x的完全平方形式,其中正确的是( ).
3.如果mx2+2(3-2m)x+3m-2=0(m≠0)的左边是一个关于x的完全平方式,则m等于( ).
A.1 B.-1 C.1或9 D.-1或9
4x-2=0应把它先变形为( ). 3
18218110 A.(x-)2= B.(x-)2=0 C.(x-)2= D.(x-)2= 39393394.配方法解方程2x2-
5.下列方程中,一定有实数解的是( ).
A.x2+1=0 B.(2x+1)2=0 C.(2x+1)2+3=0 D.(
6.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0,则x+y+z的值是( ).
A.1 B.2 C.-1 D.-2
二、填空题
1.方程x2+4x-5=0的解是________. 1x-a)2=a 2
x2x22.代数式的值为0,则x的值为________. x21
3.如果16(x-y)2+40(x-y)+25=0,那么x与y的关系是________.
4.已知(x+y)(x+y+2)-8=0,求x+y的值,若设x+y=z,则原方程可变为_______,•所以求出z的值即为x+y的值,所以x+y的值为______.
三、综合提高题
1.用配方法解方程.
(1)9y2-18y-4=0 (2)x2
2.已知:x2+4x+y2-6y+13=0,求x2y的值. x2y2
3.已知三角形两边长分别为2和4,第三边是方程x2-4x+3=0的解,求这个三角形的周长.
4.如果x2-4x+y2
,求(xy)z的值.
5、求证:无论x、y取任何实数,多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是正数
(三)公式法
由上例4可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定,因此:
(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,•
b将a、b、c代入式子
x=就得到方程的根.(公式所出现的运算,恰好包括了2a
所学过的六中运算,加、减、乘、除、乘方、开方,这体现了公式的统一性与和谐性。)
(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.
公式的理解
(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.
22A.x2-8x+(-4)=31 B.x2-8x+(-4)=1 C.x2+8x+42=1 D.x2-4x+4=-11
例1.用公式法解下列方程.
(1)2x2-x-1=0 (2)x2+1.5=-3x (3) x2
例2.某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1)xm221=0 2+(m-2)x-1=0提出了下列问题. 若使方程为一元二次方程,m是否存在?若存在,求出m并解此方程.
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