人教A版几何证明选讲分类复习

导读：　人教A版几何证明选讲分类复习(共5篇)...

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人教A版几何证明选讲分类复习(一)
数学选修4-1几何证明选讲总复习题(教师版)

数学选修4-1几何证明选讲总复习题

1.【北京市房山区2013届高三第二次模拟考试数学试题（理科）】如图，A,B,C,D是⊙O上的四个点，过点B的切线与DC的延长线交于点E.若BCD110，则DBE( )

A. 75 B. 70 C. 60 D. 55

2．一个圆的两弦相交,一条弦被分为12cm和18cm两段,另一弦被分为3:8,则另一弦的( ) 长为( ) A．11cm B．33cm C．66cm D．99cm

【答案】B【解析】解：设另一弦长xcm；由于另一弦被分为3：8的两段，故两段的长分别为3 11 xcm，8 11 xcm，有相交弦定理可得：3 11 x•8 11 x=12•18解得x=33

3．圆内接四边形ABCD中，A、B、C的度数比是2:3:6，则D（ ）

A．67.5 B．135 C．112.5 D．110

【答案】C． 【解析】由圆内接四边形对角互补可知，AC180，BD180，由已知可得A45，C135，则B67.5，所以D112.5.

4．已知三角形的3条中位线分别为3cm、4cm、6cm，则这个三角形的周长是( )

A．3cm B．26cm C．24cm D．65cm

【答案】B【解析】解：∵D，E，F分别是△ABC的三边的中点，∴DE=1 /2 AC，DF=1 /2 BC，EF=1 /2 AB， ∴AC+BC+AB=2（DE+DF+EF）=2×（3+4+6）=26（cm）．故选B．

5．如图，已知AD//BE//CF，下列比例式成立的是( B )

D F

A

6．如图，O是△ABC的外接圆，AD是O的直径，连接CD，若O的半径r3，AC2，则cosB2

的值是（ ）． A．32 B

C

D．

23

【答案】B． 【解析】解：∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°．Rt△ACD中，AD=2r=3，

AC=2．

根据勾股定理，得：故答案选：B

7．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（ ）

A．30° B．45°

A C．60° D．67.5°

cosD=CD=．∵∠

B=∠D，∴cosB=cosD=． AD33

【解析】解：如图，∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥PD，又∵OC=CD，∴∠COD=45°，∵AO=CO，∴∠ACO=22.5°， ∴∠PCA=90°-22.5°=67.5°．故选D．

8．如图所示，若

D是AC的中点，则与∠ABD相等的角的个数是( )

A．7 B．3 C．2 D．1

【答案】B

【解析】由同弧或等弧所对的圆周角相等知∠ABD＝∠CBD＝∠ACD＝∠DAC，故与∠ABD相等的角有3个．

9．如图，AB是圆O的直径，C、D是圆上的点，BAC20，弧和弧的长相等，DE是圆O的切线，

则EDC(

)

A．70 B．40 C．20 D．35

9020

35 【答案】DEDCDAC2

10．如图所示，在△ABC中，M在BC上，N在AM上，CM＝CN，且AMBM＝，下列结论中正确的是 ( )

ANCN

A．△ABM∽△ACB B．△ANC∽△AMB C．△ANC∽△ACM D．△CMN∽△BCA

【答案】B【解析】由CM＝CN知∠CMN＝∠CNM，∴∠AMB＝∠ANC， 又AMBMAMAN＝，∴＝，故△ABM∽△ACN. ANBMNCCN11．【改编自2013年陕西高考题】如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EFDB，垂足为F，若AB6，AE1，则DFDB （ ）

A.3 B.5 C.52 D.2

12.【改编自2013年湖北高考题】如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EFDB，垂足为F，若AB6，AE1，则DFDB( )

A. 4 B. 2 C. 6

D. 5

13．如右图：已知AC=BD，过C点的圆的切线与BA的延长线E点，若ACE=40，

则BCD= .

0【答案】40【解析】因为ACE=40且CE与圆相切，所以

ACECBA,ACBD,CBABCD40.

14.如图，点M为O的弦AB上的一点，连接MO.MNOM，MN交圆于N，若MA2，MB4，则MN

NO

A

MB

2222【答案】OCAB，垂足为C;AB6,AC3,MC1,OCOMMCOM1

ONOA,ON2OA2,即OM2MN2OC2AC2OC29OM2

8MN28,MN15.如图，已知RtABC的两条直角边AC,BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆

与AB交于点D，则BD＝ cm.【答案】16 5

【解析】因为AC=3,BC=4,所以AB=5，设BD=x,因为BC为圆O的切线，根据切割线定理可知BC2BDBA,42x5,x16. 5

16．如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝_____ ___.

【答案】

AC＝4，AD＝12，∠ACD＝90°，∴CD＝AD－AC＝128，∴CD＝

222

又∵AE⊥BC，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，∴ABBEABCD6＝，∴BE

＝＝

＝ADCDAD12

17.如图，AB、CD是圆的两条弦，且AB是线段CD的中垂线，已知AB=6，CD=2，则线段AC的长度为 ． DC

BC，设AB，CD相交于点E，AE=x，∵AB是线段CD的垂直平分线，∴AB是圆的直径，∠ACB=90°，则EB=6-x，

CE=AE•EB，即有x（6-x）=5，解得x=1（舍）2

或x=5，∴BC=BE•AB=1×6=6，即

. 2

18.如图，在△ABC中，AB5，BC3，ABC120，以点B为圆心，线段BC的长为半径的半圆交AB所在直线于点E、F，交线段AC于点D，则线段AD的长为 . 【答案】16 7

19.如图4，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B。且PB7，C是圆上一点使得

BC5，BACAPB，则AB .

: ACBPAB,又BACAPB,

于是有ACBPAB,得ABCB

所以ABPBAB

20．如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC

，已知PAPC4，圆心O到BC的距离

O的半径为__ ___.【答案】2

人教A版几何证明选讲分类复习(二)
选修4-1 几何证明选讲 复习教案

第一节 相似三角形的判定及有关性质

考纲下载

1．了解平行线截割定理．

2．会证明并应用直角三角形射影定理．

1．平行线的截割定理 (1)平行线等分线段定理

定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．

推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．

推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． (2)平行线分线段成比例定理

定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． 2．相似三角形的判定定理

(1)判定定理1，两三角形相似．

(2)判定定理2，两三角形相似． (3)判定定理3，两三角形相似．

3．相似三角形的性质定理 (1)性质定理：相似三角形对应高的比、相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．

(2)推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．

4．直角三角形相似的判定定理

(1)判定定理1，那么它们相似． (2)判定定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似． (3)判定定理3直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

5．直角三角形射影定理

直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．

[例1] (2014·广东高考节选)如图，在平行四边形ABCD中，点E在

AB上且EB＝2AE，△CDF的面积AC与DE交于点F，求

△AEF的面积

△CDF的面积CD2

AB2

[听前试做] 由CD∥AE，得△CDF∽△AEF，于是＝＝9.

△AEF的面积AEAE

方法规律

平行线截割定理的作用

平行线截割定理一方面可以判定线段成比例；另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理将两条线段的比转化为另外两条线段的比．

如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，

F分别为AD，BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，求梯形ABFE与梯形EFCD的面积比．

1

解：由CD＝2，AB＝4，EF＝3，得EF＝(CD＋AB)，所以EF是梯形ABCD的中位线，

2

11

则梯形ABFE与梯形EFCD有相同的高，设为h，则S梯形ABFE∶S梯形EFCD＝3＋4)h∶＋3)h

22＝7∶5.

[例2] (2015·沈阳模拟)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD

垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.

证明：(1)∠FEB＝∠CEB； (2)EF2＝AD·BC.

[听前试做] (1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB. π由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝；

2π

又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝，

2从而∠FEB＝∠EAB. 故∠FEB＝∠CEB.

(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边， 得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF. 类似可证：Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF. 又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF， 所以EF2＝AD·BC.

方法规律

与相似三角形的定理和性质有关的问题的常见类型及解题策略

(1)证明线段成比例(或线段之积相等)．利用已知条件证明三角形相似，即可得出结论． (2)证明角相等．先确定两个角所在的三角形，然后证明三角形相似，进而得出角相等． (3)求线段长．可转化成(1)，再利用已知条件求线段长．

(2015·长春模拟)如图所示，在△ABC中，AB＝AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC的延长线于点D

.

PCPD(1)求证：

ACBD

(2)若AC＝3，求AP·AD的值．

证明：(1)因为∠CPD＝∠ABC，∠PDC＝∠PDC， 所以△DPC∽△DBA，所以

PCPD

. ABBD

PCPD

又AB＝AC，所以.

ACBD

(2)因为∠ABC＋∠APC＝180°，∠ACB＋∠ACD＝180°， ∠ABC＝∠ACB， 所以∠ACD＝∠APC.

APAC

又∠CAP＝∠DAC，所以△APC∽△ACD，所以＝，

ACAD2

[例3] (2015·太原模拟)如图所示，在△ABC中，

∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，BEDFAE是∠ABC的角平分线，交AD于点F，＝AFEC

[听前试做] ∵BE是∠ABC的角平分线， ∴

DFBD

① AFAB

AEAB＝.② ECBC

在Rt△ABC中，由射影定理知，

BDAB

AB2＝BD·BC，即＝.③

ABBCDFAB

由①③④

AFBCDFAE

由②④AFEC

方法规律

巧用射影定理解题

已知条件中含直角三角形，且涉及直角三角形斜边上的高时，应首先考虑射影定理，注意射影定理与斜边的对应法则，根据题目中的结论分析并选择射影定理中的等式，并分清比例中项．

如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. 求证：AE·AB＝AF·AC

.

证明：∵AD⊥BC， ∴△ADB为直角三角形，

又∵DE⊥AB，由射影定理知，AD2＝AE·AB. 同理可得AD2＝AF·AC，

∴AE·AB＝AF·AC.

———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————

2个注意点——运用平行线分线段成比例定理的注意点

(1)平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例，在运用平行线分线段成比例定理时要注意平行线的不同位置，以及在三角形与四边形中的灵活应用．

(2)证明线段成比例，若已知条件中没有平行线，但有三角形相似的条件(如角相等，有相等的比例式等)，常考虑相似三角形的性质构造比例或利用中间比求解．

人教A版几何证明选讲分类复习(三)
选修4-1_几何证明选讲综合复习(全解析)

选修4-1《几何证明选讲》综合复习

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.如图4所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3过C作

圆的切线l,过A作l的垂线AD,垂足为D,则∠DAC =( )

A.15 B.30 C.45 D.60

【解析】由弦切角定理得DCAB60,又ADl,故DAC30,

第1题图

故选B.

2.在RtABC中,CD、CE分别是斜边AB上的高和中线,是该图中共有x个三角形与ABC相似,则x( )

A.0 B.1 C.2 D.3

【解析】2个:ACD和CBD,故选C.

3.一个圆的两弦相交,一条弦被分为12cm和18cm两段,另一弦被分为3:8,则另一弦的长为( )

A.11cm B.33cm C.66cm D.99cm

【解析】设另一弦被分的两段长分别为3k,8k(k0),由相交弦定理得3k8k1218,解得k3,故所求弦长为3k8k11k33cm.故选B. ABBCAC54.如图,在ABC和DBE中,,若ABC与 DBBEDE3DBE的周长之差为10cm,则ABC的周长为( )

2550E A.20cm B.D.25cm cm C.cm 第4题图 43

【解析】利用相似三角形的相似比等于周长比可得答案D.

225.O的割线PAB交O于A,B两点,割线PCD经过圆心,已知PA6,PO12,AB,3

则O的半径为( )

A.4 B

.6C

.6 D.8

22【解析】设O半径为r,由割线定理有6(6)(12r)(12r),解得r8.故选D. 3

6.如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆上,CDAB于点D,

且AD3DB,设COD,则tan2

11A. B. 342＝( ) 第6题图 C

.4 D.3

31,从而,故【解析】设半径为r,则ADr,BDr,由CD2AD

BD得CD223

1tan2,选A. 23

7.在ABC中,D,E分别为AB,AC上的点,且DE//BC,ADE的面积是2cm2,梯形DBCE的面积为6cm2,则DE:BC的值为( )

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A. B.1:2 C.1:3 D.1:4

【解析】ADEABC,利用面积比等于相似比的平方可得答案B.

8.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作( )个.

A.2 B.3 C.4 D.5

【解析】一共可作5个,其中均外切的2个,均内切的1个,一外切一内切的2个,故选D.

9.如图甲,四边形ABCD是等腰梯形,AB//CD.由4个这样的

等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形,

则四边形ABCD中A度数为 ( )

第9题图 A.30 B.45 C.60 D.75

【解析】6A360,从而A60,选A.

10.如图,为测量金属材料的硬度,用一定压力把一个高强度钢珠

压向该种材料的表面,在材料表面留下一个凹坑,现测得凹坑

直径为10mm,若所用钢珠的直径为26 mm,则凹坑深度为( )

A.1mm B.2 mm C.3mm D.4 mm

【解析】依题意得OA2AM2OM2,从而OM12mm,

故CM13121mm,选A. 第10题图 212111.如图,设P,Q为ABC内的两点,且APABAC,AQ＝AB＋AC,则ABP5534的面积与ABQ的面积之比为( )

1411 B. C. D. 554321【解析】如图,设AMAB,ANAC,则APAMAN. 55ABPAN1＝, 由平行四边形法则知NP//AB,所以ABC5AC A. 第11题图

ABP4ABQ1同理可得,选B. ．故ABQ5ABC412.如图,用与底面成30

角的平面截圆柱得一椭圆截线,则该椭圆的

离心率为 ( )

1A． B C D．非上述结论 2

第12题图

【解析】用平面截圆柱,截线椭圆的短轴长为圆柱截面圆的直径,弄清了这一概念,考虑椭

1圆所在平面与底面成30角,则离心率esin30.故选A. 2

二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.

13.一平面截球面产生的截面形状是_______;它截圆柱面所产生的截面形状是________

【解析】圆;圆或椭圆.

14.如图,在△ABC中,AB＝AC,

∠C＝720,⊙O过A、B两点且

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O 

D

B

C

与BC相切于点B,与AC交于点D,连结BD,若BC＝51,

则AC＝

【解析】由已知得BDADBC,BC2CDAC(ACBC)AC,

解得AC2.

15.如图,AB为O的直径,弦AC、BD交于点P,

若AB3,CD1,则sinAPD=

AD【解析】连结AD,则sinAPD,又CDPBAP, APPDCD1从而cosAPD, PABA3所以sinAPD. 316.如图为一物体的轴截面图,则图中R的值

第16题图 是

30【解析】由图可得R2()2(180135R)2,解得R25. 2

三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)

如图:EB,EC是O的两条切线,B,C是切点,A,D是

O上两点,如果E46,DCF32,试求A的度数.

【解析】连结OB,OC,AC,根据弦切角定理,可得

1 ABACCAD(180E)DCF673299. 第17题图 2

18.(本小题满分12分) E 如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P, F B AEAC,DE交AB于点F,且AB2BP4, E为⊙O上一点,

求PF的长度.

【解析】连结OC,OD,OE,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系

AEAC可得CDEAOC,又CDEPPFD, 结合题中条件第18题图

AOCPC,从而PFDC,故PFDPCO,∴

由割线定理知PCPDPAPB12,故PFPFPD, PCPOE E

F B PCPD123. PO419.(本小题满分12分) 已知:如右图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,

AB＝DC,过点D作AC的平行线DE,交BA的延长线于

点E．求证：(1)△ABC≌△DCB (2)DE·DC＝AE·BD．

【解析】证明：(1) ∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝DB

∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△BCD

(2)∵△ABC≌△BCD，∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB

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D C 第19题图

∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC

∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC ∴∠EDA＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB

∴△ADE∽△CBD ∴DE:BD＝AE:CD， ∴DE·DC＝AE·BD.

20.(本小题满分12分)

如图,△ABC中,AB=AC,AD是中线,P为AD上一点,CF∥AB，BP延长线交AC、CF于E、F,求证: PB2=PE•PF．

【解析】连结PC,易证PCPB,ABPACP

∵CF//AB ∴FABP,从而FACP

又EPC为CPE与FPC的公共角,

CPPE第20题图 解答用图 从而CPEFPC,∴ ∴PC2PEPF FPPC

又PCPB, ∴PB2PEPF,命题得证. 21.(本小题满分12分)

如图,A是以BC为直径的O上一点,ADBC过点B作O的切线,与CA的延长线相交于点E，G的中点,连结CG并延长与BE相交于点F,

C 延长AF与CB的延长线相交于点P. (1)求证:BFEF；

(2)求证:PA是O的切线；

(3)若FGBF,且

O的半径长为求BD和FG的长度. 第21题图

【解析】(1)证明：∵BC是O的直径，BE是O的切线， ∴EBBC．又∵ADBC，∴AD∥BE．

易证△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．

BFCFEFCFBFEF．∴． ∴DGCGAGCGDGAG

∵G是AD的中点，∴DGAG．∴BFEF． C (2)证明：连结AO，AB．∵BC是O的直径，

在Rt△BAE中，由（1），知F是斜边BE∴AFFBEF．∴FBAFAB．又∵OA∵BE是O的切线，∴EBO90°．

∵EBOFBAABOFABBAOFAO90°，∴PA是O的切线．

(3)解：过点F作FHAD于点H．∵BDAD，FHAD，∴FH∥BC．

由(1)，知FBABAF，∴BFAF．

由已知，有BFFG，∴AFFG，即△AFG是等腰三角形．

HG1． ∵FHAD，∴AHGH．∵DGAG，∴DG2HG，即DG2

∵FH∥BD，BF∥AD，FBD90°，∴四边形BDHF是矩形，BDFH．

FHFGHGBDFGHG1，即． ∵FH∥BC，易证△HFG∽△DCG．∴CDCGDGCDCGDG2

BDBD1∵O的半径长为∴BC∴． CDBCBD2

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FGHG11 ，∴FGCG．∴CF3FG．CGDG22

在Rt△FBC中，∵CF3FG，BFFG，由勾股定理，得CF2BF2BC2．

∴(3FG)2FG22．解得FG3（负值舍去）．∴FG3．

［或取CG的中点H，连结DH，则CG2HG．易证△AFC≌△DHC，∴FGHG，

CDCG2FG2故CG2FG，由G易知△CDG∽△CBF，

CF3FG．D∥FB，∴．CBCF3FG3

2

，解得BDRt△CFB中，由勾股定理，得

3解得BD

∴BDFH．∵．］ (3FG)2FG22，∴FG3（舍去负值）

22.(本小题满分14分)

ACBC如图1,点C将线段AB分成两部分,如果,那么称点C为线段AB的黄金分．ABAC

割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为S1,S2,SS如果12,那么称直线l为该图形的黄金分割线. SS1

(1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点(如图2),则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗?为什么?

(2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？

(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E,再过点D作直线DF∥CE,交AC于点F,连接EF(如图3),则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．

(4)如图4，点E是ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是ABCD的黄金分割线.请你画一条ABCD的黄金分割线,使它不经过ABCD各边黄金分割点.

第22题图 【解析】(1)直线CD是△ABC的黄金分割线.理由如下:设△ABC的边AB上的高为h．

SSADBD111 S△ADCADh,S△BDCBDh,S△ABCABh,所以△ADC，△BDC S△ABCABS△ADCAD222

SSADBD又因为点D为边AB的黄金分割点，所以有．因此△ADC△BDC． S△ABCS△ADCABAD

所以，直线CD是△ABC的黄金分割线.

ss1 (2)因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,此时s1s2s,即12，所ss12

以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线.

(3)因为DF∥CE,∴△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等,所以有S△DECS△FCE 设直线EF与CD交于点G．所以S△DGES△FGC．所以S△ADCS四边形AFGDS△FGC

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人教A版几何证明选讲分类复习(四)
一轮复习精品讲义：选修4-1 几何证明选讲

选修4－1 几何证明选讲 第一节相似三角形的判定及有关性质

对应学生用书P161

基础盘查一 平行线分线段成比例定理

(一)循纲忆知

了解平行线截割定理(平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理)．

(二)小题查验

1．判断正误

(1)梯形的中位线平行于两底，且等于两底和( )

(2)若一条直线截三角形的两边(或其延长线)所得对应线段成比例，则此直线与三角形的第三边平行( )

答案：(1)× (2)√

2.如图，F为▱ABCD的边AD延长线上的一点，DF＝AD，BF分别交

DC，AC于G，E两点，EF＝16，GF＝12，则BE的长为________．

解析：由DF＝AD，AB∥CD知BG＝GF＝12，又EF＝16知EG＝4，

故BE＝8.

答案：8

3.(人教A版教材习题改编)如图，AB∥EM∥DC，AE＝ED，EF∥BC，

EF＝12 cm，则BC的长为________ cm.

AB∥EM∥DC⇒E为AD中点，M为BC的中点， 解析：∵AE＝ED

又EF∥BC⇒EF＝MC＝12 cm.

∴BC＝2MC＝

24 cm.

答案：24

基础盘查二 相似三角形的判定及性质

(一)循纲忆知

理解相似三角形的定义与性质，会证明并应用直角三角形射影定理．

(二)小题查验

1．判断正误

(1)在△ABC中，AD是BC边上的高，若AD2＝BD·CD，则∠A为直角( )

(2)在直角三角形ABC中，AC⊥BC，CD⊥AD，则BC2＝BD·AB( )

(3)若两个三角形的相似比等于1，则这两个三角形全等( )

答案：(1)√ (2)× (3)√

2.(人教A版教材习题改编)如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC

上的点，DE∥BC且

________．

解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，

S△ADEAD2

∴. S△ABCAB∵

∴ADAD22＝ DBAB3S△ADE4S△ADE4. S△ABC9S四边形DBCE5AD＝2，那么△ADE与四边形DBCE的面积比是DB

4答案： 5

对应学生用书P161

考点一 平行线分线段成比例定理的应用|(基础送分型考点——自主练透)

[必备知识]

1．平行线等分线段定理

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等． 推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．

推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．

2．平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．【人教A版几何证明选讲分类复习】

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．

[提醒] 在使用平行线截割定理时易出现对应边的对应顺序混乱，导致错误．

[题组练透]

1.如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，AE

BF交BC于点F，求 FC

解：如图，过点D作DM∥AF交BC于点M.

∵点E是BD的中点，

∴在△BDM中，BF＝FM.

又点D是AC的中点，

∴在△CAF中，CM＝MF，

∴BFBF1. FCFM＋MC2

2．如图，等边三角形DEF内接于△ABC，且DE∥BC，已知AH⊥BC于点H，BC＝4，AH3，求△DEF的边长．

解：设DE＝x，AH交DE于点M，显然MH的长度与等边三角形DEF的高相等，

DEAMAH－MH又DE∥BC＝， BCAHAH

x∴43－33x22－x4，解得x23

EFFG的值． BCAD＝3.如图，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，求

解：由平行线分线段成比例定理得

EFAFFGFC＝， BCACADAC

故EFFGAFFC

AC1. BCADACAC

AC

[类题通法]

对于平行线分线段成比例定理，往往会以相似三角形为载体，通过三角形相似来构建相

应线段比，从而解决问题．解题时要充分利用中点来作辅助线，建立三角形的中位线或梯形的中位线，从而有效利用平行线分线段成比例定理．

考点二 相似三角形的判定及性质|(重点保分型考点——师生共研)

[必备知识]

1．相似三角形的判定定理

判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似；

判定定理2：三边对应成比例的两个三角形相似；

判定定理3：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．

2．相似三角形的性质定理

性质定理1：相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比；

性质定理2：相似三角形的面积比等于相似比的平方．

结论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．

[提醒] 在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角的对应失误．

[典题例析]

如图，已知在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.

(1)求证：△ABC∽△FCD；

(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．

解：(1)因为DE⊥BC，D是BC的中点，所以EB＝EC，所以∠B＝∠BCE.又因为AD＝AC，所以∠ADC＝∠ACB.

所以△ABC∽△FCD.

(2)如图，过点A作AM⊥BC，垂足为点M.

S△ABCBC2因为△ABC∽△FCD，BC＝2CD，所以＝4. S△FCDCD

又因为S△FCD＝5，所以S△ABC＝20.

1因为S△ABCBC·AM，BC＝10， 2

1所以2010×AM， 2

所以AM＝

4.

因为DE∥AM，所以DEBD. AMBM

15因为DM＝DC＝，BM＝BD＋DM， 22

DE58所以＝解得DE＝45352

[类题通法]

证明两个三角形相似的关键是根据判定定理找(证)两个三角形的边和角之间的数量关系．有的证明起来比较简单方便，但有的找边角关系比较困难，这就要求我们必须提高读图、识图、添加必要辅助线的能力．对计算问题则要灵活使用有关定理，掌握相似三角形的性质定理．

[演练冲关]

(2015·浙江模拟)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3，CD＝4.

过AC与BD的交点O作EF∥AB，分别交AD，BC于点E，F，求EF的

长．

EOOD解：因为AB∥CD，EF∥AB，所以△EDO∽△ADB，因此有，又AB＝3，CDABBD

EOOD41224＝4，不妨设DO＝4m，OB＝3m，＝，因此可得EOEF＝. ABBD777

考点三 射影定理的应用|(重点保分型考点——师生共研)

[必备知识]【人教A版几何证明选讲分类复习】

射影定理

直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项．

[提醒] 射影定理是直角三角形中的一个重要结论，其实质就是三角形的相似．但要注意满足直角三角形射影定理结论的三角形不一定是直角三角形，所以要搞清楚定理中的条件和结论之间的关系，不能乱用．

[典题例析]

如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于

F，DE⊥AB于E，试证明：

(1)AB·AC＝BC·AD；

(2)AD3＝BC·CF·BE.

证明：(1)在Rt△ABC中，AD⊥BC，

11∴S△ABC＝AB·AC＝·AD. 22

∴AB·AC＝BC·AD

.

人教A版几何证明选讲分类复习(五)
选修4-1几何证明选讲总复习

相似三角形的判定及其有关性质复习

一．知识梳理

1．平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段

推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于 ，并且等于 2．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段 ．

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段 结论1：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边

结论2：三角形的一个内角平分线分对边所成的两条线断于这个角的两边．

结论3：若一条直线截三角形的两边（或其延长线）所得对应线段成比例，则此直线与三角形的第三边 3． 相似三角形的判定定理：

（1）（SAS） （2） (SSS) （3）(AA)

相似三角形的性质定理：相似三角形的对应线段的比等于 ，面积比等于 ．

4． 直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上摄影

的 ，两条直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的 ． 二．模拟练习

1．如图1，l1//l2//l3，AM=3，BM=5，CM=4.5，EF=16，则，．

2．如图2，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙80cm，梯上点D距墙70cm，BD长55cm，则梯子的长为 cm． l1 C

K l2 F

l3

图1 图2

B

3．如图3，ΔABC中，∠1=∠B，则Δ ∽Δ ．此时若AD=3，BD=2，则AC= ．

4．如图4，CD是RtΔABC的斜边上的高．

（1）若AD=9，CD=6，则BD= ；

（2）若AB=25，BC=15，则BD= ． D

B

图3 C

图4 5．如图5，ΔABC中，点D为BC中点，点E在CA上，且CE=1

2

EA，AD，BE交于点F，则

AF:FD= ．

6．一个等腰梯形的周长是80cm，如果它的中位线长与腰长相等，它的高是12cm，则这个梯形的面 积为 cm2．

7．两个三角形相似，它们的周长分别是12和18，周长较小的三角形的最短边长为3，则另一个三角形的最短边长为 ．

8．如图6，已知∠1=∠2，请补充条件： （写一个即可），使得ΔABC∽ΔADE．

E【人教A版几何证明选讲分类复习】

D

B

图5 D C A 图6

B 9．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段．这两条线段的比是3:2，则梯形的上、下底长分别是__________．

10．如图7，BD、CE

是VABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ:BC

11、 如图，等边△DEF内接于△ABC，且DE//BC，已知AHBC于点H，BC＝4，AH＝3，求△DEF的边长．

F H

1

12、如图8，在ΔABC中，作直线DN平行于中线AM，设这条直线交边AB与点D，交边CA的延长14、（2009年海南、宁夏高考）如图，已知ABC的两条角平分线AD

线于点E，交边BC于点N． 求证：AD∶AB=AE∶AC． 和CE相交于H，B600，F在AC上，且AEAF．

（I）

证明：B,D,H,E四点共圆： （II）

证明：CE平分DEF。

．

B

N M C 图8

13、 如图9，E，F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且EBAF AB



AD



13

．

求证：∠AEF=∠FBD．

D

M

B

C

图9

2

直线与圆的位置关系复习

一．知识梳理

1．圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于 圆心角定理：圆心角的度数等于

推论1；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是90的圆周角所对的弦是 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的 2． 圆内接四边形的性质与判定定理：

圆的内接四边形的对角 ；圆内接四边形的外角等于它的内角的 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点

如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点 3．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的

推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过 ；经过切点且垂直于切线的直线必经过

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 4．相交弦定理：圆内两条相交弦，

割线定理：从圆外一点引圆的两条割线， 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是 的比例中项． 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长；圆心和这点的连线平分 的夹角． 二．模拟练习

1、如图1，点P是⊙O的直径BA延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CD⊥AB，垂足为D，连结AC、BC、OC，那么下列结论中正确结论的个数有 个

①PC2

=PA·PB；②PC·OC=OP·CD；③OA2

=OD·OP；④OA（CP－CD）=AP·CD． 2、AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若AP∶PB＝1∶4，CD＝8，则直径AB的长是 O D P

图1

3、如图2，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，PC=3，PB=1，则⊙O的半径为 ．

4、如图3，圆O上的一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的直径为 ．

A

O

P

B

图2

5、下列命题中错误的是

（1）过一个圆的直径两端点的两条切线互相平行

（2）直线AB

与⊙O相切于点A，过O作

AB的垂线，垂足必是A

（3）若同一个圆的两条切线互相平行，则连结切点所得的线段是该圆的直径 （4）圆的切线垂直于半径

6、如图4，已知AB是⊙O的弦，AC切⊙O于点A，∠BAC=60°，则∠ADB的度数为 7、如图5，

PA与圆切于点A，割线PBC交圆于点B

、C，若PA=6，

PCA= ，PAB= ．

·O

D

B P

图4 C 图5 8、如图7，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交O于点D，若PE＝PA，ABC60，PD＝1，BD＝8，则线段BC=．

9．半径为5的⊙O内有一点A，OA=2，过点A的弦CD被A分成两部分，则AC·

10．如图8，已知⊙O的半径OB=5cm，弦AB=6cm，D是的中点，则弦BD的长度是

O

P 图 7

11．(2009年广东高考)如上图，点A，B，C是圆O上的点，且AB4，ACB30o

，则圆O的面积等于__________________．

3

12、如图9，AB是⊙O的直径，C是⊙O外一点，且AC＝AB，BC交⊙O于点D．已知BC＝4， AD＝6，AC交⊙O于点E，求四边形ABDE的周长．

13、 如图10，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC． （1）求证：FB＝FC；

（2）若AB是△ABC的外接圆的直径， ∠EAC ＝120°，BC＝6，求AD的长．

14、如图11，⊙1和⊙O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D经过点B的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F． 求证：CE∥DF．

O··O

1

2

F

图

11

15、（2009年辽宁高考）已知 ABC 中，AB=AC, D是 ABC外接圆劣弧A

C上的点（不与点A,C重合），延长BD至E．

（1） 求证：AD的延长线平分CDE；

（2） 若BAC=30，ABC中BC边上的高为

，求ABC外接圆的面积．

4

几何证明选讲复习题

（1）ΔABF∽ΔAEF （2）ΔABF∽ΔCEF （3）ΔCEF∽ΔDAE （4）ΔADE∽ΔAEF

8．如图8，在RtΔABC中，∠C=90°，D是BC中点，DE⊥AB，垂足为E，∠B=30，AE=7．则1． 如图1，已知：AC⊥AB，BD⊥AB，AO=78cm，BO=42cm，CD=159cm，则CO= cm， DO= DE的长为 ． cm．

9．如图9，AB=BC=CD，∠E=40°，则∠

2．已知，如图2，

AA′∥EE′，

AB=BC=CD=DE，A′B′=B′C′=C′D′=D′E′，若AA′=28mm，

10．如图10，已知⊙O的切线PC与直径BA的延长线相交于点P，C是切点，过A的切线交PC

EE′=36mm，则BB′= ，CC′= ，DD′= ．

于D，如果CD∶PD=1∶2，DA=2，那么⊙O的半径OC= ．

3．如图3，EF∥BC，FD∥AB，AE=1.8cm,BE=1.2cm,CD=1.4cm．则BD= ．

11．如图11，ΔABC内接于⊙O，AD切⊙O于A，∠BAD=60°，则∠． A

4．已知，如图4，在平行四边形ABCD

中，DB是对角线，E是AB 上一点，连结CE且延长和DA的延长线交于F，则图中相似三角形 的对数是 ．

BC5．如图5，在A

F

图1

图2

A′′C′′E′

B

图9

E 图4

B

中，AD是角BAC的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,则BD cm．

C

图13

F

C

图10

B 图11

D └B D

图3

D C

12．如图12，已知AD=AB，∠ADB=350，则∠BOC等于

图6

6．如图6，ED∥FG∥BC，且DE，FG把ΔABC的面积分为相等的三部分，若BC=15，则FG的长为 ．

7．如图7，已知矩形ABCD中，∠AEF=90°，则下列结论一定正确的是

13．如图13，ABCD是⊙O的内接四边形，AC平分∠BAD并与BD交于E点，CF切⊙O于C交AD延长线于F，图中四个三角形：①ΔACF；②ΔABC；③ΔABD；④ΔBEC，其中与ΔCDF一定相似的是 ．

14．⊙O中，弦AB平分弦CD于点E，若CD=16，AE∶BE=3∶1，则

15．AB是⊙O的直径，OA=2.5，C是圆上一点，CD⊥AB，垂足为D，且CD=2，则AC= ．

16．如图14，PAB是⊙O的割线，AB=4，AP=5，⊙O的半径为6，则

BC中，17．如图15，在AAD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：AEABAFAC．

O

P

5

F B

图7

C

D 图8

B

图14

A

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