2015年数学全国卷1下载

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2015年数学全国卷1下载(一)
2015年全国卷1理科高考真题数学卷word版(附答案)

2015年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1+z

（1） 设复数z满足＝i，则|z|＝

1z

(A)1 (B

(C

(D)2 (2)sin20°cos10°－con160°sin10°＝

11 (A

) (B

(C) (D)

22(3)设命题P：nN，n2>2n，则P为

(A)nN， n2>2n (B) nN， n2≤2n (C)nN， n2≤2n (D) nN， n2＝2n

(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为

(A)0.648

(B)0.432 (C)0.36

(D)0.312

x2

(5)已知M(x0，y0)

是双曲线C：

y21 上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，

2

若MF1MF2＜0

，则y0的取值范围是

) (B)(－，) (C)() (D)()

(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有

(A)(

－

(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛

(7)设D

为ABC所在平面内一点BC3CD，则

1414

(A) ADABAC (

B) ADABAC

33334141

(C) ADABAC (D) ADABAC

3333

(8)函数f(x)＝的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为 (A)((C)(

)，k)，k

(b)( (D)(

)，k)，k

(9)执行右面的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝ (A)5 (B)6 (C)7 (D)8

（10）(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为

(A)10 (B)20 (C)30 (D)60

（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体， （12）该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的 （13）表面积为16 ＋ 20，则r＝ (A)1 (B)2 (C)4 (D)8

正视图 12.设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a1，若存在唯一的 整数x0，使得f(x0)0，则a的取值范围是( )

333333

A.[，1) B. [,) C. [,) D. [，1)

2e42e42e2e

俯视图

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题未选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

(13)若函数f(x)＝xln(x为偶函数，则a＝ (14)一个圆经过椭圆

的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 .

x10

y

(15)若x，y满足约束条件xy0，则的最大值为 .

xxy40



(16)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是 . 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)

Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0， (Ⅰ)求{an}的通项公式： (Ⅱ)设

，求数列

}的前n项和

E

F (18)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，

E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCDDF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC. A (1)证明：平面AEC⊥平面AFC

(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值 C B

(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

年销售量/t

年宣传费(千元)

1

表中wi ，w ＝

8



i=1

wi

(Ⅰ)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋y关于年宣传费x的回

归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； (Ⅲ)以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z＝0.2y－x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：

（i） 年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii） 年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据(u1 v1)，(u2 v2)„„.. (un vn)，其回归线v＝u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：



(uu)(vv)

i

i

i1

n

(uu)

i

i1

n

,vu

2

(20)(本小题满分12分)

x2

在直角坐标系xoy中，曲线C：y＝与直线l:y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点，

4

(Ⅰ)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

(Ⅱ)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.

(21)(本小题满分12分)

1

已知函数f(x)＝x3ax,g(x)lnx

4

(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线yf(x) 的切线；

(Ⅱ)用min m,n 表示m，n中的最小值，设函数h(x)minf(x),g(x)

(x0) ，讨论

h(x)零点的个数

请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则

按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. (22)(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲

AC是☉O的切线，BC交☉O于点E

（I） 若D为AC的中点，证明：DE是☉O的切线； （II） 若OA＝，求∠ACB的大小.

(23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中.直线C1:x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （I） 求C1，C2的极坐标方程； （II） 若直线C3的极坐标方程为

的面积



4

R，设C2与C3的交点为M，N ，求△C2MN

(24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知函数

＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.

(Ⅰ)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；

(Ⅱ)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围

2015年数学全国卷1下载(二)
2015年全国高考数学试卷理科新课标1卷(精校含答案)

理科数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (1)设复数Z满足

1Z

＝i,则Z 1－Z

（A）1 （B）2 （C） （D）2 （2）sin20cos10cos160sin10 （A）－

113 (B) （C）－ (D)

2222

（3）设命题P:nN,n22n,则P为

（A）（B）（C）（D）nN,n22n nN,n22n nN,n22n nN,n2＝2n （4）投篮测试中，每人投3次，至少2次命中才能通过测试，已知某同学每次投篮命中的概率为0.6，且各次投篮是否命中相互独立，则该同学通过测试的概率为

（A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312

x2

y21上的一点，F1,F2是双曲线C的两个焦点，（5）已知M(x0,y0)是双曲线C：2

若MF1MF20，则y0的取值范围是 （A）(

332222223

,) (,) (,) (,) （B）（C）（D）33663333

（6）《九章算术》是我国古代极为丰富的数学名著，

书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”，其意为：“在屋内角处堆放米（如图，米堆是一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的的体积和米堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出米堆的米约为

（A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛 (7)设D为ABC所在平面内一点，3，则

1414

ABAC （B）ADAB－AC 33334141

(C) （D）

3333

（A）AD

(8)函数f(x)cos(x)的部分图像如图所示，则f(x)的单调减区间为

13,k）,kZ 4413

（2k,2k）,kZ （B）

4413（k,k）,kZ （C）

4413（2k,2k）,kZ （D）

44（k（A）

（9）执行右边的程序框图，如果输入的t=0.01,则输出的n= （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 （10）（xxy）的展开式中，xy的系数为 （A）10 （B）20 （C）30（D）60 (11)圆柱被一平面截去一部分后与半球

（半径为r） 组成一个几何休，该几何体的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=

（A）1 (B)2 (C)4 (D)8

(12)设函数f(x)=e(2x-1)-ax+a,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）0，则a的取值范围是（ ）

（A）[- -错误！未找到引用源。，1） (B) [- 错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。） (C) [错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。） (D) [错误！未找到引用源。，1）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）若函数f(x)xln(xax2)为偶函数，则a .

x

2552

x2y2

1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准（14）一个圆经过椭圆

164

方程为 。

x10

y

（15）若x,y满足约束条件xy0，则的最大值为 。

xxy40



A＝B＝C＝75，（16）在平面四边形ABCD中，BC＝2，则AB的取值范围是。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2

（17）（本小题满分12分）Sn是数列an的前n项和，已知an0，an2an4Sn3

（Ⅰ)求数列an的通项公式； （Ⅱ）设 bn

(18)(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是菱形，

1

,求数列{bn}的前n项和. anan1

ABC＝1200 ，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE＝2DF，AEEC

(Ⅰ)证明：平面AEC平面AFC； (Ⅱ)求直线AE与直线CF所成有的余弦值。

（19）（本小题满分12分）某公司为确定下一年的投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y(单位：t)和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和对年销售量yi(i1,2,,8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量

的值，

18表中wixi，wwi

8i1

（Ⅰ）根据散点图，判断yabx与ycdx哪一个宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归类型（给出判断即可，不必说明理由）；

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y与x的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品年利润z与x,y之间的关系为z=0.2y-x,根据（Ⅱ）的结果回答问题 （i）年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值为多少？ （ii）年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据(u1 v1)，(u2 v2)„„.. (un vn)，其回归线v＝u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：



(uu)(vv)

i

i

i1

n

(uu)

i

i1

n

,vu

2

x2

（20）（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线C：y与直线

4

交于M，N两点。 l:ykxa（a0）

（Ⅰ）当k0时，分别求C在M点和N点处的切线方程；

（Ⅱ）y轴上是否存在点P,使得当k变动时，总有OPM＝OPN？说明理由。

（21）（本小题满分12分）已知函数f(x)xax（Ⅰ）当a为何值时，x轴为曲线yf(x)的切线；

（Ⅱ）用minm,n表示m,n中的最小值，设函数h(x)minf(x),g(x)(x0)讨论函数

3

1

,g(x)lnx. 4

h(x)零点的个数。

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是圆为的直径，AC是圆O的切线，BC交圆O与点E，

(Ⅰ)若D为AC的中点，证明：DE是圆O的切线； (Ⅱ)若OA3CE,求ACB的大小。

(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，直线C1x2 ，圆C2:(x1)2(y2)21 ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为级轴建立极坐标系

(Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程；

(Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为＝R），设C2与C3的交点为M，N，求



4

C2MN的面积。

(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

设函数f(x)x2xa,a0。 （Ⅰ）当a1时，求不等式f(x)1的解集；

（Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围。

2015年数学全国卷1下载(三)
2015全国卷1数学试卷及答案(理科)

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2015年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（全国卷Ⅰ）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至6页。

第Ⅰ卷

一. 选择题：本大题共12小题。

（1）设复数z满足1+z

1z

=i，则|z|=

（A）1 （B

（C

（D）2 （2）sin20cos10cos160sin10

（A

）2 （B

）2

（C）12 （D）12

（3）设命题P：nN，n2>2n，则P为

（A）nN, n2>2n （B） nN, n2≤2n （C）nN, n2≤2n （D） nN, n2=2n

（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （

D）0.312

（5）已知M（x

yx2

0，0）是双曲线C：2y

21 上的一点，F1、F2

是C上的两个焦点，

若MF1MF2＜

0，则y0的取值范围是

（A）（

（B）（

（C）（3，3） （D）（3，3）

（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有

A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛

（7）设D为错误！未找到引用源。ABC所在平面内一点BC

3BC

，则

（A）AD14

3AB3

AC 错误！未找到引用源。

(B)AD

14

3AB3AC

（C）AD43AB13AC (D)AD41

3AB3

AC

(8)函数f(x)=错误！未找到引用源。的部分图像如图所示，则f（x）的单调递减区间为

(A)(k14,k34),kZ (B)(2k14,2k3

4),kZ

(C)(k14,k34),kZ (D)(2k13

4,2k4

),kZ

（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=

（A）5 （B）6 （C）7 （D）8

（10）错误！未找到引用源。（x2xy）

5

的展开式中，x5y2的系数为 （A）10 （B）20 （C）30 （D）60

(11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20，则r=

（A）1 （B）2 （C）4 （D）8

12.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）0，则a的取值范围是（ ） A.32e,1 B.333332e,4 C.2e,4 D. 2e

,1 第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

（13）若函数f(x)xln(xax2)为偶函数，则（14）一个圆经过椭圆x216

y2

4

1错误！未找到引用源。的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 。

（15）若x,y满足约束条件

x10xy0错误！未找到引用源。则错误！未找到引用源。



xy40

x

y

的最大值为 . （16）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 .

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0，an2an4Sn3错误！未找到引用源。

（Ⅰ）求{an}的通项公式，

（Ⅱ）设b1

na错误！未找到引用源。 ,求数列bn错误！未找到引用源。}的前n

nan1【2015年数学全国卷1下载】

项和。

（18）如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。 （1）证明：平面AEC⊥平面AFC

（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值

（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x1和年销售量y1（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。

表中w1 ，w =

8

w1

x1

（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

（i） 年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii） 年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据（u1 v1）,（u2 v2）„„.. （un vn）,其回归线v=u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

（20）（本小题满分12分）

xoy中，曲线C：y=x2

在直角坐标系4

与直线y=ks+a(a>0)交与M,N两点，

（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当K变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。

（21）（本小题满分12分）

已知函数f（x）=x3ax1

4

,g(x)lnx

(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线yf(x) 的切线；

（Ⅱ）用min m,n 表示m,n中的最小值，设函数h(x)minf(x),g(x)(x0) ，讨

论h（x）零点的个数

2015年数学全国卷1下载(四)
2015· 全国卷1(文数)精校完整解析版

2015·全国卷Ⅰ(文科数学)

1．A1[2015·全国卷Ⅰ] 已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为( )

A．5 B．4 C．3 D．2

1．D [解析] 集合A＝{2，5，8，11，14，17，„}，所以A∩B＝{8，14}，所以A∩B中有2个元素．

→→

2．F1、F2[2015·全国卷Ⅰ] 已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝( )

A．(－7，－4) B．(7，4) C．(－1，4) D．(1，4)

→→→→

2．A [解析] AB＝(3，1)，BC＝AC－AB＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)． 3．L4[2015·全国卷Ⅰ] 已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝( ) A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i

3．C [解析] 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，代入(z－1)i＝1＋i得(a－1＋bi)i＝1＋i，即－b

－b＝1，

＋(a－1)i＝1＋i.根据复数相等可得得a＝2，b＝－1，所以复数z＝2－i.

a－1＝1，

4．K2[2015·全国卷Ⅰ] 如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3

个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )

31A. B. 10511C. D. 1020

4．C [解析] 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共101

种取法，其中只有(3，4，5)是一组勾股数，所以构成勾股数的概率为10

1

5．H5、H7[2015·全国卷Ⅰ] 已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与

2抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝( )

A．3 B．6 C．9 D．12

5．B [解析] 抛物线C：y2＝8x的焦点坐标为(2，0)，准线方程为x＝－2，即椭圆的半c21x2y22

焦距c＝2.又离心率e＝＝a＝4，于是b＝12，则椭圆的方程为＝1.A，B

aa21612是C的准线x＝－2与E的两个交点，把x＝－2代入椭圆方程得y＝±3，所以|AB|＝6.

6．G12[2015·全国卷Ⅰ] 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如

下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图1-1，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的

高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(

)

图1-1

A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛

1

6．B [解析] 米堆的体积即为四分之一的圆锥的体积，设圆锥底面半径为r，则×2πr

41611320320

＝8，得r＝，所以米堆的体积为×πr2×5≈立方尺)，1.62≈22(斛)．

3499π7．D2[2015·全国卷Ⅰ] 已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和．若S8＝

4S4，则a10＝( )

1719A. B. 22C．10 D．12

8×74×317．B [解析] 由S8＝4S4，得8a1＋1＝44a1＋×1，解得a1＝，所以a10＝

222119

＋(10－1)×1＝. 22

8．C4[2015·全国卷Ⅰ] 函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图像如图1-2所示，则f(x)的单调递减区间为(

)

图1-2

13

kπ－kπ＋，k∈Z A.44

13

2kπ－2kπ＋，k∈Z B.44

13

k－，k＋，k∈Z C.44

13

2k2k，k∈Z D.44

2πT51

8．D [解析] ＝1，所以T＝22，所以ω＝±π.

244|ω|

1

因为函数f(x)的图像过点4，0，

ωπ

所以当ω＝π时，＋φ＝＋2kπ，k∈Z，

42π

解得φ2kπ，k∈Z；

4

ωπ

当ω＝－π时，＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，

42π

解得φ＝－＋2kπ，k∈Z.

4

ππ13

所以f(x)＝cosπx＋，由2kπ<πx＋<π＋2kπ解得2k－<x<2k＋，k∈Z，故选

4444D.

9．L1[2015·全国卷Ⅰ] 执行图1-3所示的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝

(

)

图1-3

A．5 B．6 C．7 D．8

9．C [解析] 经推理分析可知，若程序能满足循环，则每循环一次，S的值减少一半，1111

循环6次后S的值变为>0.01，循环7次后S的值变为<0.01，此时不再满足循

2642128环的条件，所以结束循环，于是输出的n＝7.

x1

2－2，x≤1，

10．B6、B7[2015·全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6

－log2（x＋1），x>1，

－

－a)＝( )

75

A．－ B．－

4431C D．－

44

10．A [解析] 因为2x1－2>－2恒成立，所以可知a>1，于是由f(a)＝－log2(a＋1)＝－

－

3得a＝7，所以f(6－a)＝f(－1)＝2

－1－1【2015年数学全国卷1下载】

7

－2.

4

11．G2[2015·全国卷Ⅰ] 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图1-4所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r

＝(

)

图1-4

A．1 B．2 C．4 D．8

11．B [解析] 由三视图可知，此组合体的前半部分是一个底面半径为r，高为2r的半圆柱(水平放置)，后半部分是一个半径为r的半球，其中半圆柱的一个底面与半球的半个圆11

面重合，所以此几何体的表面积为2r·2rr2＋r2＋πr·2r＋2πr2＝4r2＋5πr2＝16＋

2220π，解得r＝2.

＋

12．B6、B7[2015·全国卷Ⅰ] 设函数y＝f(x)的图像与y＝2xa的图像关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝( )

A．－1 B．1 C．2 D．4

12．C [解析] 在函数y＝f(x)的图像上任设一点P(x，y)，其关于直线y＝－x的对称点y′－yx′－x＝1，x′＝－y，

为P′(x′，y′)，则有解得由于点P′(x′，y′)在函数y＝2

y′＝－x.x＋x′y＋y′

220，

－＋

x＋a

的图

像上，于是有－x＝2ya，得－y＋a＝log2(－x)，即y＝f(x)＝a－log2(－x)，所以f(－2)＋f(－

4)＝a－log22＋a－log24＝2a－3＝1，所以a＝2.

13．[2015·全国卷Ⅰ] 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________．

13．D36 [解析] 由a1＝2，an＋1＝2an可知数列{an}为等比数列，公比为2，所以Sn＝2（1－2n）

126，得n＝6.

1－2

14．B12[2015·全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图像在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则 a＝________．

14．1 [解析] 因为f′(x)＝3ax2＋1，所以函数在点(1，f(1))，即点(1，2＋a)处的切线的2＋a－7

斜率k＝f′(1)＝3a＋1.又切线过点(2，7)，则经过点(1，2＋a)，(2，7)的直线的斜率k＝1－2

2＋a－7

所以3a＋1，解得a＝1.

1－2

x＋y－2≤0，

15．E5[2015·全国卷Ⅰ] 若x，y满足约束条件x－2y＋1≤0，则z＝3x＋y的最大值为

2x－y＋2≥0，________．

15．4 [解析] 作出约束条件表示的可行域如图所示，当目标函数线平移至经过可行域的顶点A(1，1)时，目标函数z取得最大值，故zmax＝3×1＋1＝

4.

y2

16．H6[2015·全国卷Ⅰ] 已知F是双曲线C：x＝1的右焦点，P是C的左支上一点，

8

2

A(0，6) ，当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．

16．126 [解析] 由已知得a＝1，c＝3，则F(3，0)，|AF|＝15.设F1是双曲线的左焦点，根据双曲线的定义有|PF|－|PF1|＝2，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF1|＋2≥|AF1|＋2＝17，即点P是线段AF1与双曲线的交点时，|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF1|＋2最小，即△APF周长最小，此时，1234sin∠OAFcos∠PAF＝1－2sin2∠OAF＝即有sin∠PAF＝.由余弦定理得|PF|2＝|PA|2

5252523

＋|AF|2－2|PA||AF|cos∠PAF，即(17－|PA|)2＝|PA|2＋152－2|PA|×15×，解得|PA|＝10，于是S

25

△APF

1146＝|PA|·|AF|·sin∠PAF＝10×15×126. 2225

17．C5、C8[2015·全国卷Ⅰ] 已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin Asin C.

(1)若a＝b，求cos B;

(2)若B＝90°，且a2， 求△ABC的面积． 17．解：(1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac. 又a＝b，所以可得b＝2c，a＝2c. a2＋c2－b21

由余弦定理可得cos B＝.

2ac4(2)由(1)知b2＝2ac.

因为B＝90°，所以由勾股定理得a2＋c2＝b2.

故a2＋c2＝2ac，得c＝a2， 所以△ABC的面积为1. 18．G5[2015·全国卷Ⅰ] 如图1-5，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.

(1)证明：平面AEC⊥平面BED；

2015年数学全国卷1下载(五)
2015年高考理科数学试卷全国卷1(解析版)

2015年高考理科数学试卷全国卷1（解析版）

1．设复数z满足1z=i，则|z|=（ ） 1z

（A）1 （B

（C

（D）2

【答案】A 【解析】由1z1i(1i)(1i)i得，z==i，故|z|=1，故选A. 1z1i(1i)(1i)

考点：本题主要考查复数的运算和复数的模等.

2．sin20ocos10ocos160osin10o =（ ）

（A

）11（B

（C） （D） 221，故选D. 2【答案】D ooooo【解析】原式=sin20cos10cos20sin10 =sin30=

考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.

3．设命题p：nN,n22n，则p为（ ）

（A）nN,n22n （B）nN,n22n

（C）nN,n22n （D）nN,n2=2n

【答案】C

【解析】p:nN,n2，故选C.

考点：本题主要考查特称命题的否定

4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）

（A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312

【答案】A

2【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为C30.620.40.63=0.648，2n

故选A.

考点：本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式

x2

y21上的一点，F1,F2是C上的两个焦点，若5．已知M（x0,y0）是双曲线C：2

MF1MF20，则y0的取值范围是（ ）

（A）（

（B）（

（C）

（

） （D）【2015年数学全国卷1下载】

（

） 【答案】A

2x02y1，所以MF1

MF2= 【解析】由题

知F，(F0122

222(x0,y0)x0,y0) =x0y033y01

0，解得y0故选A.

考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.

6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部

的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已

知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）

（A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛

【答案】B

11623r8=r，所以米堆的体积43

11162320320为3()5=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B. 43399【解析】设圆锥底面半径为r，则

考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式

7．设D为ABC所在平面内一点BC3CD，则（ ）

（A）AD1414ABAC （B）ADABAC 3333

（C）AD【答案】A 4141ABAC （D）ADABAC 3333

11ADACCDACBCAC(ACAB)=33【解析】由题知

14ABAC，故选A. 33

考点：平面向量的线性运算

8．函数f(x)=cos(x)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（ ）

1313,k),kZ （B）(2k,2k),kZ 4444

1313（C）(k,k),kZ （D）(2k,2k),kZ

4444（A）(k

【答案】D

1+42=f(x)cos(x)，【解析】由五点作图知，，解得，，所以=5344+42

令2kx

间为（2k42k,kZ，解得2k13＜x＜2k，kZ，故单调减区4413，2k），kZ，故选D. 44

考点：三角函数图像与性质

9．执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（ ）

（A）5 （B）6 （C）7 （D）8

【答案】C

【解析】执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m=

＞t=0.01,是，循环， 1m=0.5,S=S-m=0.5,m=0.25,n=1,S=0.522

m=0.125,n=2,S=0.25＞t=0.01,是，循环， 2

m执行第3次，S=S-m=0.125,m=0.0625,n=3,S=0.125＞t=0.01,是，循环， 2

m执行第4次，S=S-m=0.0625,m=0.03125,n=4,S=0.0625＞t=0.01,是，循环， 2

m执行第5次，S=S-m=0.03125,m=0.015625,n=5,S=0.03125＞t=0.01,是，循环， 2

m执行第6次，S=S-m=0.015625,m=0.0078125,n=6,S=0.015625＞t=0.01,是，循环， 2

m执行第7次，S=S-m=0.0078125,m=0.00390625,n=7,S=0.0078125＞t=0.01,否，2执行第2次，S=S-m=0.25,m

输出n=7，故选C.

考点：本题注意考查程序框图

10．(xxy)的展开式中，xy的系数为（ ）

（A）10 （B）20 （C）30 （D）60

【答案】C

【解析】在(xxy)的5个因式中，2个取因式中x剩余的3个因式中1个取x，2522552

212其余因式取y,故x5y2的系数为C5C3C2=30，故选 C.

考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.

【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.

11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20，则r=（ ）

（A）1 （B）2 （C）4 （D）8

【答案】B

【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为14r2r2rr22r2r=2

5r24r2=16 + 20，解得r=2，故选B.

考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式

12．设函数f(x)=e(2x1)axa,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)0，则a的取值范围是（ ）

（A）[-x333333，1） （B）[-，） （C）[，） （D）[，1） 2e2e42e42e

【答案】D

x【解析】设g(x)=e(2x1)，yaxa，由题知存在唯一的整数x0，使得g(x0)在

直线yaxa的下方.

因为g(x)e(2x1)，所以当x

11以当x时，[g(x)]max=-2e2， 2x11时，g(x)＜0，当x时，g(x)＞0，所22

当x0时，g(0)=-1，g(1)3e0，直线yaxa恒过（1,0）斜率且a，故ag(0)1，且g(1)3e1aa，解得3≤a＜1，故选D. 2e

考点：本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题

13．若函数f（x）

=xln(x为偶函数，则【答案】1

【解析】

由题知yln(x是奇函数，

所以ln(xln(x =ln(ax2x2)lna0，解得a=1.

考点：函数的奇偶性

x2y2

1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标14．一个圆经过椭圆164

准方程为 . 22【答案】(x)y3

225 4

222【解析】设圆心为（a，0），则半径为4a，则(4a)a2，解得a

22圆的方程为(x)y3，故23

225. 4

考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程

x10y15．若x,y满足约束条件xy0，则的最大值为 . xxy40【答案】3 y是可行域内一点与原x

y点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3. x【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，

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