2011奇偶性题

导读：　2011奇偶性题(共5篇)...

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2011奇偶性题(一)
2011高一数学试题 1.3《函数的单调性和奇偶性》经典例题

经典例题透析 类型一、函数的单调性的证明 1．证明函数

上的单调性

.

证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)， 令△x=x2-x1>0

则

∵x1>0，x2>0，∴

∴上式<0，∴△y=f(x2)-f(x1)<0

∴

总结升华： 上递减.

[1]证明函数单调性要求使用定义；

[2]如何比较两个量的大小？(作差)

[3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)

举一反三：

【变式1】用定义证明函数上是减函数.

思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.

证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1<x2，则

∵0<x1<x2≤1 ∴x1-x2<0，0<x1x2<1

∵0<x1x2<1

故

∴x1<x2时有f(x1)>f(x2) ，即f(x1)-f(x2)>0

上是减函数.

上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个 总结升华：可以用同样的方法证明此函数在

函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.

类型二、求函数的单调区间

2. 判断下列函数的单调区间；

(1)y=x2-3|x|+2； (2)

解：(1)由图象对称性，画出草图

∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.

(2)

∴图象为

∴f(x)在

举一反三：

上递增.

【变式1】求下列函数的单调区间：

(1)y=|x+1|； (2) (3).

解：(1)

∴函数的减区间为画出函数图象， ，函数的增区间为(-1，+∞)；

(2)定义域为

其中u=2x-1为增函数， ，

在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数；

(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，

总结升华：

[1]数形结合利用图象判断函数单调区间； 单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞).

[2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.

[3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化→复合函数为增函数；内外层函数反向变化→复合函数为减函数.

类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)

3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小.

解：

又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则

4. 求下列函数值域： .

(1)； 1)x∈[5，10]； 2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；

(2)y=x2-2x+3； 1)x∈[-1，1]； 2)x∈[-2，2].

思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合

.

解：(1)

图 2个单位，再上移2个单位得到，如

1)f(x)在[5，10]上单增，；

2)

(2)画出草图 ；

1)y∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]；

2)

举一反三： .

【变式1】已知函数.

(1)判断函数f(x)的单调区间；

(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.

思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式.

，第二问即是利用单调性求函数值域

.

解：(1)

上单调递增，在上单调递增；

(2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增

∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2

x=3时f(x)有最大值

∴x∈[1，3]时f(x)的值域为

.

5. 已知二次函数f(x)=x-(a-1)x+5在区间2上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.

解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知

只需；

(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4

∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7

举一反三： .

【变式1】（2011 北京理13）已知函数

不同的实根，则实数k的取值范围是________. ，若关于x的方程有两个

解：

由图象知，若

单调递减且值域(0,1]，单调递增且值域为， 有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）.

2011奇偶性题(二)
函数奇偶性练习题及答案

函数的奇偶性练习题

1、判断下列函数的奇偶性。

（1）f(x)(x1)1x（非奇非偶）

lg(1x2)

（2） f(x)|x2|2（奇）

（3）

（4）f(x)3xx3（奇偶） 22f(x)x|xa|2（a=0，偶；a≠0，非奇非偶） 2

2x1（5）f(x)x（奇） 21

2ylg(x1x)（奇） （6）

（7）f(x)1cosxsinx

1cosxsinx

（8

）f(x)x1

(奇)

332、设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对于xR，都有f(x)f(x)22

成立。

（1）证明：f(x)是周期函数，并指出周期。

33f(x)f(x),f(x)f(x)22 3333f(x3)f[(x)]f[(x)]f(x)f(x)2222

f(x)是周期函数，且T3 所以，

（2）若f(1)2，求f(2)f(3)的值。-2

3．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x时，f(x)xx，则f()（ A ）

A． B． C．１ D．３

4．函数f(x)的定义域为,11,，且f(x1)为奇函数，当x1时， 

f(x)2x212x16，则直线y2与函数f(x)图象的所有交点的横坐标之和是（ D ）

A．1 B．2 C．4

解：

f(x+1)是奇函数

所以 f(x+1)的图像关于(0,0)对称，且f(0+1)=0

f(x+1)的图像向右平移1个单位，得到f(x)

所以 f(x)的图像关于(1,0)对称, f(1)=0

则当 x>1时

（1） 2x²-12x+16=2

x²-6x+7=0

x=3±√2 两根都大于1

即x>1时，y=2与函数f(x)图像交点的横坐标为3±√2

（2） 2x²-12x+16=-2

x²-6x+9=0

x=3

所以 x=3时，y=-2

(3,-2)关于(1,0)的对称点为（-1,2）

即 x<1时，y=2与函数f(x)图像交点的横坐标为-1

所以 ，直线y=2与函数f(x)图象的所有交点的横坐标之和是

3+√2+3-√2+(-1)=5

D．5

5.下面四个结论中，正确命题的个数是 ( A )

①偶函数的图象一定与y轴相交

②奇函数的图象一定通过原点

③偶函数的图象关于y轴对称

④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）

A.1 B.2 C.3 D.4

6.设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈(0,1)时，f(x)log1(1x)，则函数f(x)在(1,2)上( D )

2

A．是增函数，且f(x)<0 B．是增函数，且f(x)>0

C．是减函数，且f(x)<0 D．是减函数，且f(x)>0

7．已知函数yf(x)，xR，有下列4个命题：

①若f(12x)f(12x)，则f(x)的图象关于直线x1对称；

②f(x2)与f(2x)的图象关于直线x2对称；

③若f(x)为偶函数，且f(2x)f(x)，则f(x)的图象关于直线x2对称； ④若f(x)为奇函数，且f(x)f(x2)，则f(x)的图象关于直线x1对称. 其中正确命题的个数为 （C ）.

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 分析：①先用换元法将f（1+2x）=f（1-2x）转化，再由转化后的形式判断对称轴的方程．

②y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称可转化为证明y=f（x）与y=f（-x）的图象关于直线x=0对称的问题，再结合图象的平移知识进行判断．

③用-x换x，由题设条件和偶函数的性质得，f（2-x）=-f（-x）=-f（x）=f（2+x），故f（x）的图象关于直线x=2对称．

④用-x换x，由题设条件和奇函数的性质得，f（-x）=f（x-2），故y=f（x）的图象关于直线x=-1对称． 解答：解：①令t=1+2x，可得2x=t-1，代入f（1+2x）=f（1-2x）得f（t ）=f（2-t）

由于|t-1|=|2-t-1|，故可知函数y=f（x）图象关于直线x=1对称

即y=f（x）的图象关于直线x=1对称，故①是真命题．

②由题设知y=f（2-x）=f[-（x-2）]

由于函数y=f（x）与y=f（-x）的图象关于直线x=0对称，

又y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象可由函数y=f（x）与y=f（-x）的图象右移动2个单位而得到， ∴y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称，故②是真命题．

③f（x）为偶函数，且f（2+x）=-f（x），用-x换x得，f（2-x）=-f（-x）=-f（x）=f（2+x） ∴f（x）的图象关于直线x=2对称，故③是真命题．

④∵y=f（x）为奇函数，且f（x）=f（-x-2），用-x换x得，f（-x）=f（x-2），

∴y=f（x）的图象关于直线x=-1对称，故④是假命题．

故选C．

8.设f(x)是(,)上的奇函数，f(2x)f(x),当0x1时，f(x)x，则f(7.5)等于（ B ）

A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5

x＋3的9．设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(x)＝fx＋4

所有x之和为( C ) A．－3 B．3 C．－8 D．8

10.已知函数f(x)满足：f(1)＝2，f(x1)1f(x)，则f(2011)等于( C ) 1f(x)

11A．2 B．－3 C．－ D. 23

11[解析] 由条件知，f(2)＝－3，f(3)＝－，f(4)＝，f(5)＝f(1)＝2，故f(x＋4)＝f(x) 23

1＋fx＋11(x∈N*)．∴f(x)的周期为4，故f(2011)＝f(3)＝－.[点评] 严格推证如下：f(x＋2)＝21－fx＋1

1＝－，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝f(x)．即f(x)周期为 fx

2－x11.函数y＝log2的图象( A ) 2＋x

A．关于原点对称 B．关于直线y＝－x对称

C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称

12.已知f（x）是奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=lg

（x）的表达式是__________.

解析：当x∈（－1，0）时，－x∈（0，1），∴f（x）=－f（－x）=－lg1，那么当x∈（－1，0）时，f1x1=lg（1－x）.1x

答案：lg（1－x）

13.定义在R上的奇函数f(x)满足：当x＞0时，f(x)＝2008x＋log2008x，则方程f(x)＝0的实根的个数为 3 .

14．若y＝（m－1）x2＋2mx＋3是偶函数，则m＝_________．

0解析：因为函数y＝（m－1）x＋2mx＋3为偶函数，

∴f（－x）＝f（x），即（m－1）（－x）2＋2m（－x）＋3＝（m—1）x2＋2mx＋3，整理，得m＝0．(

15.已知函数f(x)定义域为R，则下列命题： 2

①y=f(x)为偶函数，则y=f(x+2)的图像关于y轴对称；

②y=f(x+2)为偶函数，则y=f(x)的图像关于直线x=2对称；

③若函数f(2x+1)是偶函数，则f(2x)的图像关于直线x=1/2对称；

④若f(x-2)=f(2-x),则y=f(x)的图像关于直线x=2对称；

⑤y=f(x-2)和y=f(2-x)的图像关于x=2对称。其中正确的命题序号为_______． ②③⑤

16．定义在,上的偶函数fx满足fx1fx，且在1,0上是增函数，下面是关于f(x)的判断：

1①fx关于点P(,0)对称 ②fx的图像关于直线x1对称； 2

③fx在[0，1]上是增函数； ④f2f0.

其中正确的判断是________________(把你认为正确的判断都填上)(1)(2)(4)

17.关于y=f(x)，给出下列五个命题：

①若f(-1+x)=f(1+x)，则y=f(x)是周期函数；

②若f(1-x)= -f(1+x)，则y=f(x)为奇函数；

③若函数y=f(x-1)的图像关于x=1对称，则y=f(x)为偶函数；

④函数y=f(1+x)与函数y=f(1-x)的图像关于直线x=1对称；

⑤若f(1-x)=f(1+x)，则y=f(x)的图像关于点（1,0）对称；

其中真命题的序号是_______．①③

18. 设函数yf(x)是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线x2对称，已知x[2,2]时，函数f(x)x21，则x[6,2]时，f(x)

f(x)(x4)21

2011奇偶性题(三)
函数的奇偶性练习题[(附答案)

函数的奇偶性

1．函数f（x）=x(-1﹤x≦1)的奇偶性是 A．奇函数非偶函数

（ ）

B．偶函数非奇函数

C．奇函数且偶函数 D．非奇非偶函数

2. 已知函数f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是( ）

A.奇函数 B.偶函数

C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数 3. 若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(,0]上是减函数，

且f(2)=0，则使得f(x)<0的x的取值范围是 ( )

A.(-,2) B. (2,+) C. (-,-2)(2,+) D. (-2,2) 4．已知函数f(x)是定义在(－∞,+∞)上的偶函数.

当x∈(－∞,0)时，f(x)=x-x4，则 当x∈(0.+∞)时，f(x)= . 5. 判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝lg(x21-x); (2)f(x)＝x2+2x

x(1x)

x(1x)

(3) f（x）=

(x0),(x0).

6.已知g(x)=－x2－3,f(x)是二次函数，当x∈[-1,2]时，f(x)的最小值是1，且f(x)+g(x)是奇函数，求f(x)的表达式。

2

7.定义在（-1，1）上的奇函数f（x）是减函数，且f(1-a)+f(1-a)<0,求a的取值范围

ax21

(a,b,cN)是奇函数,f(1)2,f(2)3,且f(x)在[1,)上是8.已知函数f(x)

bxc

增函数,

(1)求a,b,c的值;

(2)当x∈[-1,0)时,讨论函数的单调性.

9.定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x，y∈R都有

f(x+y)=f(x)+f(y)． (1)求证f(x)为奇函数；

(2)若f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

10下列四个命题：

（1）f（x）=1是偶函数；

（2）g（x）=x3，x∈（－1，1]是奇函数；

（3）若f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则H（x）=f（x）·g（x）一定是奇函

数； （4）函数y=f（|x|）的图象关于y轴对称，其中正确的命题个数是 （ ） A．1

B．2

C．3

D．4

11下列函数既是奇函数，又在区间1,1上单调递减的是( )

1x2xaax D.f(x)lnA.f(x)sinx B.f(x)xC.f(x)

22x

【2011奇偶性题】

12若y=f（x）（x∈R）是奇函数，则下列各点中，一定在曲线y=f（x）上的是（ ） A．（a，f（－a）） B．（－sina，－f（－sina）） C．（－lga，－f（lg）） D．（－a，－f（a））

13. 已知f（x）=x4+ax3+bx－8，且f（－2）=10，则f（2）=_____________。

a2xa2

14.已知f(x)是R上的奇函数，则a =

2x1【2011奇偶性题】

1a

15.若f(x)为奇函数，且在(-∞,0)上是减函数，又f(-2)=0，则xf(x)<0的解集为________

16.已知y=f(x)是偶函数，且在[0,)上是减函数，则f(1－x2)是增函数的区间是 17.已知f(x)x(

1) x2211

（1）判断f（x）的奇偶性； （2）证明f（x）>0。

答案

1.【提示或答案】 D

【基础知识聚焦】掌握函数奇偶性的定义。

2.【提示或答案】A

【基础知识聚焦】考查奇偶性的概念 3.【提示或答案】D

【基础知识聚焦】考查奇偶性的概念及数形结合的思想 【变式与拓展】

1：f(x)是定义在R上的偶函数，它在[0,)上递减，那么一定有( ）

A．f(C．f(

33

)f(a2a1) B．f()f(a2a1) 4433

)f(a2a1) D．f()f(a2a1) 44

【变式与拓展】

2：奇函数f(x)在区间[3，7]上递增，且最小值为5，那么在区间[－7，－3] 上是

（ ）

A．增函数且最小值为－5 B．增函数且最大值为－5 C．减函数且最小值为－5 D．减函数且最大值为－5 4. 【提示或答案】f(x)=-x-x4

【变式与拓展】已知f（x）是定义在R上的奇函数，x>0时，f（x）=x2－2x+3，则f（x）=________________。

【基础知识聚焦】利用函数性质求函数解析式 5．【提示或答案】

解(1)此函数的定义域为R.

∵f(-x)+f(x)＝lg

x

-x)＝lg1＝0

∴f(-x)＝-f(x)，即f(x)是奇函数。

(2)此函数定义域为｛2｝，故f(x)是非奇非偶函数。 （3）∵函数f（x）定义域（－∞，0）∪（0，+∞），当x＞0时，－x＜0， ∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）. 当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）. 故函数f（x）为奇函数.

【基础知识聚焦】考查奇偶性的概念并会判断函数的奇偶性 6．解：设f(x)ax2bxc则

f(x)g(x)(a1)x2bxc3是奇函数 a10a1, c30c3

b1

f(x)x2bx3(x)23b2

24

b1

（1）当12即-4b2时，最小值为：3

b21b

42

bf(x)x23

b

2即b4时,f(2)=1无解； 2b

（3）当1即b2时，

2

（2）当

f(1)1b3,f(x)x23x3

综上得：f(x)x23或 f(x)x23x3

【基础知识聚焦】利用函数性质求函数解析式，渗透数形结合 7. 【提示或答案】 -1<1-a<1

2

-1<1-a<1

f(1-a)<- f(1-a2)=f(a2-1),1-a> a2-1得0<a<1 【基础知识聚焦】考查奇偶性解决抽象函数问题 8．【提示或答案】 解(1)f(x)是奇函数，则

ax21ax21ax21

c0由f(1)2得a12b,

bxcbxcbxc

由f(2)3

a2

01a2 a1

又aN,a0,1.

1

当a0时,bN,舍去.

2

x211

x当a=1时,b=1,f(x)xx

【基础知识聚焦】结合具体函数，考查函数性质9【提示或答案】

分析：欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子

f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=－x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．

(1)证明：

f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)， ①

令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．

令y=－x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有

0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．

(2)解：f(3)=log23＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．

f(k·3x)＜-f(3x-9x-2) =f(-3x+9x+2)，

k·3x＜-3x+9x+2，

32x-(1+k)·3x+2＞0对任意x∈R都成立．令t=3x＞0，问题等价于t2-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．

1k

令f(t)=t2－(1+k)t+2,其对称轴x

2

1k

0,即k1时,f(0)=2>0,符合题意; 当21k

0时,对任意t>0,f(t)>0恒成立

当2

1k

0

2

(1k)2420 解得1k1综上所述,所求k

的取值范围是(,1

【基础知识聚焦】考查奇偶性解决抽象函数问题，使学生掌握方法。 10【提示或答案】B 11【提示或答案】D 12【提示或答案】D

【基础知识聚焦】掌握奇偶函数的性质及图象特征 13【提示或答案】6

2011奇偶性题(四)
2011届高考数学复习好题精选 函数的奇偶性

函数的奇偶性

1.已知y＝f ( ) ①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.

A.①③ B.②③

C.①④ D.②④

解析：由奇函数的定义验证可知②④正确，选D.

答案：D

2.(2010·长郡模拟)已知二次函数f(x)＝x2－ax＋4，若f(x＋1)是偶函数，则实数a的值为

( )

A.－1 B.1 C.－2 D.2

解析：∵f(x)＝x2－ax＋4，

∴f(x＋1)＝(x＋1)2－a(x＋1)＋4

＝x2＋2x＋1－ax－a＋4

＝x2＋(2－a)x＋5－a，

f(1－x)＝(1－x)2－a(1－x)＋4

＝x2－2x＋1－a＋ax＋4

＝x2＋(a－2)x＋5－a.

∵f(x＋1)是偶函数，

∴f(x＋1)＝f(－x＋1)，

∴a－2＝2－a，即a＝2.

答案：D

a3.(2009·浙江高考)若函数f(x)＝x2＋(a∈R)，则下列结论正确的是 ( ) x

A.∀a∈R，f(x) 在(0，＋∞)上是增函数

B.∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数

C.∃a∈R，f(x)是偶函数

D.∃a∈R，f(x)是奇函数

1616解析：当a＝16时，f(x)＝x2＋，f′(x)＝2x－ xx

令f′(x)＞0得x＞2.

∴f(x)在(2，＋∞)上是增函数，故A、B错.

当a＝0时，f(x)＝x2是偶函数，故C正确.

D显然错误，故选C.

答案：C

4.已知函数f ( )

A.1 B.－7 C.4 D.－10

解析：设g(x)＝ax4＋bcosx，则g(x)＝g(－x).由f (－3)＝g(－3)＋3，得g(－3)＝f(－3)－3＝4，所以g(3)＝g(－3)＝4，所以f (3)＝g(3)－3＝4－3＝1.

答案：A

5.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝( )

A.－2 B.2 C.－98 D.98

解析：由f(x＋4)＝f(x)，得f(7)＝f(3)＝f(－1)，

又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，

f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝－2.故选A.

答案：A

16.设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝ ( ) 2

5A.0 B.1 D.5 2

1解析：由f(1)， 2

对f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，

令x＝－1，

得f(1)＝f(－1)＋f(2).

又∵f(x) 为奇函数，∴f(－1)＝－f(1).

于是f(2)＝2f(1)＝1；

3令x＝1，得f(3)＝f(1)＋f(2)＝， 2

5于是f(5)＝f(3)＋f(2)2

答案：C

17.已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f2

＞0＞f(－3)，则方程f(x)＝0的根的个数为 ( )

A.0 B.1 C.2 D.3

解析：由于函数是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，因此在(－∞，0)上单调递增，

11又因为f()＞0＞f(－3)＝f3)，所以函数f(x)在3)上与x轴有一个交点，必在(－2213，－)上也有一个交点，故方程f(x)＝0的根的个数为2. 2

答案：C

8.(2010·滨州模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足：当x＞0时，f(x)＝2008x＋log2008x，则方程f(x)＝0的实根的个数为 .

解析：当x＞0时，f(x)＝0即2008x＝－log2008x，在同一坐标系下分别画出函数f1(x)＝2008x，f2(x)＝－log2008x的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f(x)＝0只有一个实根，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x＜0时，方程f(x)＝0也有一个实根，又因为f(0)＝0，所以方程f(x)＝0的实根的个数为3.

答案：3

f(x)＝9.12m(m＞0)在区间上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，

解析：由f(x－4)＝－f(x)⇒f(4－x)＝f(x)，

故函数图象关于直线x＝2对称，

又函数f(x)在上是增函数，且为奇函数，

故f(0)＝0，故函数f(x)在(0,2]上大于0， 则x1＋x2＋x3＋x4＝ .

根据对称性知函数f(x)在上单调递增，求实数a的取值范围.

解：(1)设x<0，则－x>0，

所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.

又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，

于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，

所以m＝2.

(2)要使f(x)在上单调递增，

结合f(x)的图象知a2>1, a2≤1,

所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3].

－2x＋b(理)已知定义域为R的函数f(x). 2＋a

(1)求a、b的值；

(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围. 解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，

－1＋b－2x＋1即＝0，解得b＝1，从而有f(x)＋2＋a2＋a

1－＋12－2＋1又由f(1)＝－f(－1)，知＝－，解得a＝2. 4＋a1＋a

故a＝2，b＝1.

－2x＋111(2)由(1)知f(x)＋＋22＋12＋2

由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数.

又因f(x)是奇函数，

从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0

等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k).

因f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k， 即对一切t∈R有3t2－2t－k>0.

1从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－3

2011奇偶性题(五)
2011年高一数学试题：1.3.2《奇偶性》(新人教A版必修1)

(时间60分钟，满分80分)

一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)

1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )

A．y＝－log2x(x>0)

C．y＝3(x∈R) x B．y＝x＋x(x∈R) 1D．y＝－x∈R，x≠0) x3

解析：A、C选项中的函数不是奇函数，D选项中的函数在定义域内不是增函数． 答案：B

2．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )

①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.

A．①③

C．①④ B．②③ D．②④

解析：由奇函数的定义验证可知②④正确．

答案：D

13．若函数f(x)＝ax＋(a∈R)，则下列结论正确的是( ) x

A．∀a∈R，函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数

B．∀a∈R，函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数

C．∃a∈R，函数f(x)为奇函数[来源:学科网]

D．∃a∈R，函数f(x)为偶函数

解析：当a＝1时，函数f(x)在(0,1)上为减函数，A错；当a＝1时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，B错；D选项中的a不存在．

答案：C

4．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )

A．f(－25)＜f(11)＜f(80)

C．f(11)＜f(80)＜f(－25) B．f(80)＜f(11)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)

解析：∵f(x－4)＝－f(x)，∴T＝8.

又f(x)是奇函数，∴f(0)＝0.

∵f(x)在[0,2]上是增函数，且f(x)＞0，

∴f(x)在[－2,0]上也是增函数，且f(x)＜0.【2011奇偶性题】

又x∈[2,4]时，f(x)＝－f(x－4)＞0，且f(x)为减函数．

同理f(x)在[4,6]为减函数且f(x)＜0.如图．

∵f(－25)＝f(－1)＜0，f(11)＝f(3)＞0，f(80)＝f(0)＝0，∴f(－25)＜f(80)＜f(11)．

答案：D

5．定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，

列函数中与f(x)的单调性不同的是( )

A．y＝x2＋1

B．y＝|x|＋1

2x＋1，x≥0，C．y＝3 x＋1，x＜0.

xe，x≥0，D．y＝－x e，x<0.下

解析：利用偶函数的对称性知f(x)在(－2,0)上为减函数．又y＝x2＋1在(－2,0)上为减函数；

x2x＋1，x≥0，e，x≥0，y＝|x|＋1在(－2,0)上为减函数；y＝3在(－2,0)上为增函数，y＝－xx＋1，x＜0e，x＜0

在(－2,0)上为减函数．

答案：C

fx－f－x6．若函数f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(2)＝0，则的解x

集为( )

A．(－2,0)∪(0,2) B．(－∞，－2)∪(0,2)

D．(－2,0)∪(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

解析：因为函数f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，f(2)＝0，所以x>2或－2<x<0

fx－f－xfx时，f(x)>0；x<－2或0<x<2时，f(x)<0.，即<0，可知－2<x<0或0<x<2. xx

答案：A

二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)

7．已知函数f(x)＝x2＋(m＋2)x＋3是偶函数，则m＝________.

解析：本题考查了函数的奇偶性f(x)为偶函数，则m＋2＝0，m＝－2.

答案：－2

8．已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)．若f(a)＝－2，则实数a＝________.

解析：令x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－x(1－x)，

又f(x)为奇函数，所以当x<0时有f(x)＝x(1－x)，

令f(a)＝a(1－a)＝－2，得a2－a－2＝0，

解得a＝－1或a＝2(舍去)．

答案：－1

9．已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋2)＝－

则f(6.5)＝________.

11解析：由f(x＋2)＝－f(x＋4)＝－f(x)，那么f(x)的周期是4，得f(6.5)＝fxfx＋2

f(2.5)．因为f(x)是偶函数，得f(2.5)＝f(－2.5)＝f(1.5)．

而1≤x≤2时，f(x)＝x－2，∴f(1.5)＝－0.5.

由上知：f(6.5)＝－0.5.

答案：－0.5

三、解答题(共3小题，满分35分)

10．判断下列函数的奇偶性．

lg1－x(1)f(x)＝2 |x－2|－2

2x＋xx<0，(2)f(x)＝ －x2＋xx>0.21当1≤x≤2时，f(x)＝x－2，fx

1－x2>0lg1－x2lg1－x2解：(1)由2得定义域为(－1,0)∪(0,1)，这时f(x)＝＝－. 22－x－2－2x|x－2|－2≠0

lg[1－－x2]lg1－x2∵f(－x)＝－f(x)． －xx∴f(x)为偶函数．

(2)当x<0时，－x>0，

则f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)

当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)

∴对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)

故f(x)为奇函数．

－x＋2x，x>0，11．已知函数f(x)＝0， x＝0，

x2＋mx， x<0

(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

解：(1)设x<0，则－x>0，

所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 2 是奇函数．[来源:学科网ZXXK]

又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，

于是x<0时，f(x)＝x＋2x＝x＋mx，所以m＝2.

(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，

结合f(x)的图象知a－2>－1，

a－2≤1，22

所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．

12．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.

(1)求证：f(x)是周期函数；

(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；

(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)．

解：(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，

∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．

∴f(x)是周期为4的周期函数．

(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得

f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，

又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x，

∴f(x)＝x2＋2x.

又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，

∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．

又f(x)是周期为4的周期函数，

∴f(x)＝f(x－4)

＝(x－4)2＋2(x－4)

＝x2－6x＋8.

从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.

(3)f(0)＝0，f(2)＝0，

f(1)＝1，f(3)＝－1.

又f(x)是周期为4的周期函数，

∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＋f(2 012)＝0.

∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝0. 2

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