高一下册数学题

导读：　高一下册数学题(共5篇)...

以下是中国招生考试网www.chinazhaokao.com为大家整理的《高一下册数学题》，希望大家能够喜欢！更多资源请搜索成考报名频道与你分享！

高一下册数学题(一)
高一下数学测试题

高一下学期数学试题

一，选择题

1，已知是第四象限角，且sin4

cos4



7

9

，则sin2（ ） A.23 B.23

C.3

D.3

2

，函数y

）

A.6k,2kkZ B.6k,2k

kZ

C.3k,2kkZ D.

3k,2k

kZ



3，已知a0,1，b1,2,c1,3且kab

akb,a与kbc

反向，则k（ ）

A.1

B.1

C.1 D.1 4，已知集合Pxx2

2x150

,Q

xlog3x

log3

x1

log32

，则PQ( )

A.3,12,5 B.5,12, 3 C.2,5 D.2,3 5,函数fx2sin

x3

4

对任意的xR都有fx1fxfx2，

则x1x2min（ ）A.2

B. C.3

2 D.3

6，若ab0，则下列结论中正确的是（ ）

A.不等式

1111

ab和ab均不成立。 B.不等式

1ab1a和1a1

b

均不成立。

22

C.不等式1ab1a和a1b1

ba

均不成立。

22

D.不等式11ab和a1bb1

a

均不成立。

7，在锐角ABC中，若tanAt1,tanBt1，则t的取值范围为（ ）

A.

 B.1,

C. D.1,1

8，记asin

137

10,bcos2,ccos4

，则a,b,c的大小关系为（ ） Ab.ac B.bca C.abc D.acb

9，设O为ABC的内心，当ABAC5,BC6时，AOABBC,R, 则（ ）A.

34 B.34 C.1516

16

D.15 10，如果满足ABC60

,AC12,BCk的ABC恰有一个，则k的取值范围为（ ）

A.k B.0k1 2 C.k12 D.0k

12或k二，填空题

11，已知x0,y0,xy

1,a恒成立的a的取值范围是12，不等式

11

x2

2x

的解集为 

1,x,

13，已知abx2

,1



，若a,b的夹角为锐角，则x的取值范围是

14,已知ABC三个顶点A1,2,B4,1,C3,4,则角A的平分线AD的长为15，在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，若acosC

ccosA且

4sinBsin2B4

2

cos2B1B

三，解答题

16，在ABC，若tanBcosBC

sinAsinBC

(1) 判断ABC的形状 （2）求bc

a

的取值范围。

17，在以O为原点的平面直角坐标系中，点A4,3为OAB的直角顶点，已知AB2OA,且点

B的纵坐标大于0

（1） 求向量AB

的坐标

（2） 求RtOAB的两直角边上的中线所成钝角的大小。

18，已知不等式m1mlog2

ax

1

11

4

对于任意的m0,1恒成立，求实数x的取值范围。

19，已知函数f

x2sin2x





4

2x1 （1）若函数hxfxt的图像关于点

6,0



对称，且t0,，求t的值。 （2）设p:x73,

12

，fxm3，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围。

20，已知函数fx是定义在1,1上的奇函数，且f11，若a,b1,1,ab0时有

fafbab

0

（1）判断fx在1,1上的单调性，并证明 （2）解不等式f1x

2f1x1

（3）若fxm2

2am1对所有x1,1,a1,1恒成立。求m的范围。

21，在函数yx

2

1x1的图像上有A,B两点，且ABOx轴，B在A的右边，点M1,m是

ABC边AC的中点

（1） 写出用B的横坐标t表示ABC面积S的函数解析式Sft （2） 求函数Sft的最大值，并求出相应的点C的坐标。

参考答案

一，选择题

BCCCC BAACD

二，填空题

11

， 12，

,2



2,

13，,11,01, 14

， 15，

3

或23

三，解答题

16，解：（1）由题意可得：sinB

cosBCsinBcosBCcosBsinBCsinBC

cosB2cosBsinC cosBC0cosA0所以A

2

所以ABC是直角三角形

（2）由正弦定理得：

bcasinBsinCsinA

sinBsinC



B4 

B

3

0,2

B44,

4

bca

17，解：（1）设AB

x,y

由题意可得：x2y2100x63y0

或4x

y8x6

y8 OBOA

ABx4,y3且y30y8AB6,8

（2）设D,E是OA,AB的中点，则OE7,1,BD13



8,2



设OE与BD的夹角为，则cosOEBDOE

BD

 即OE与BD

所成的钝角为

2

18，解：m1mm1m2

14 当且仅当m1

2时等号成立 log2ax1

111

log2ax44

13 log2ax4或log2ax2（舍）logax2或logax2

故当a1时，x的取值范围是

0,

12

a2



a, 当0a1时，x的取值范围是

0,a2

1a2

,

19，解：（1）ft2tmt

2

0t1

3

3

（2）S222t2mt2mt2

22m16m3



27 当且仅当2t2m

t2

即t

时等号成立Smax

此时C2,5m3 

20，解：（1）fx在1,1上单调递增



1x11

2 （2）由题意可得：1

11x

x132,1 

x1

12x1 （3）fx在1,1上单调递增fxmaxf11

m2

2am11在1,1上恒成立 m2

2m0

m2或m2 m2

2m0

21，解：（1）OAAjn1ij

n1in

nOA11A2An1Anjn1,n

n1

222

2

OBnOB1B1B2Bn1Bn3i3i

333

n

2n291i99,0

33

（2）Ann1,nAn,An1两点在直线yx1上，则此直线与x轴的交点为P1,0 Bn,Bn1在x轴上 anSPAn1Bn1SPAnBn

1210923

n

n1

nn1

122n1109n5n2

233

2

（3）an5n2

3

n1

22

an1an5n15n2

33

n1

4n2

5

33

n1

所以当n4时，an1an，当n4时，a4a5，当n4时an1an 故在数列an中a4a55

16

是数列最大项 27

*

所以存在最小的自然数M6对一切nN都有anM成立。

高一下册数学题(二)
高一下册数学期末试卷

高一数学下册期末考试试题

数 学

第一部分 基础检测(共100分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的． 1．若a、b、cR,A．

ab，则下列不等式成立的是( )

11ab

D． a|c|b|c|  B． a2b2 C． 22

abc1c1

2．已知an为等比数列，若A．2 B．

a1a4

4，则公比q的值为（ ）

a3a6

11

C．2 D．

22

3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9（ ）

A．63 B．45 C．36 D．27 4．在ABC中，a80，b100，A30，则B的解的个数是（ ）

A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 不确定 5．已知an为等比数列，a1,a99为方程x10x160的两根，则a20a80=（ ）

2

A．16 B．16 C．10 D．106．在ABC中，AB

,A450,C750,则BC =（ ）

A．3 B．2 C． 2 D．33 7．已知an为等差数列，bn为等比数列，则下列结论错误的是（ ） ．．A．bnbn1一定是等比数列 B．bn一定是等比数列

2

C．anan1状为（ ）



一定是等差数列 D．a一定是等差数列

2n

8．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，若acosAbcosB，则ABC的形A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 9．利用基本不等式求最值，下列各式运用正确的是（ ） A．yx

44442x4 B．ysinx2sinx4(x为锐角) xxsinxsinx

x

C．ylgx4logx102lgx4logx104 D． y310．在数列an中，a12,an1anln1

44x

234 3x3x



1

，则an＝（ ） n

A．2lnn B．2n1lnn C．2nlnn D．1nlnn

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 11．不等式x82的解集为________________.

12．在ABC中，A:B:C1:2:3，则a:b:c_______________.

13．已知等差数列an的首项a110，公差d2，则前n项和Sn_________________，

当n=________________时，Sn的值最小.

三、解答题：本大题共4小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14．（6分）解不等式

15．（6分）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）

与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：y

2x8

1

x2x6

830

(0)． 2

31600

问：在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？

16．（11分）已知A、B、C为ABC的三个内角，它们的对边分别为a、b、c，且

cosBcosCsinBsinC

（1）求A；

1

． 2

（2）若a2,bc4，求bc的值，并求ABC的面积．

17．（12分）设数列bn的前n项和为Sn，且bn22Sn；数列an为等差数列，且a510，

a714.

（1）求数列an、bn的通项公式； （2）若cn

1

anbn，Tn为数列cn的前n项和. 求Tn. 4

第二部分 能力检测(共50分)

四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．

151

18．若数列an满足a1，且an1an

362

n1

，则通项

an________________.

19．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B

在同一水平面内的两

个侧点C与D．现测得BCD，BDC，CDs，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高AB=_________________．

五、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20．（12分）已知OA(sin

xxxx

,cos),OB(cos,cos)(xR),f(x)OAOB. 3333

（1）求函数f(x)的解析式，并求图象的对称中心的横坐标； （2）若x0,

21．（14分）某农场预算用5600元购买单价为50元（每吨）的钾肥和20元（每吨）的氮肥，

希望使两种肥料的总数量（吨）尽可能的多，但氮肥吨数不少于钾肥吨数，且不多于钾肥吨数的1.5倍.

（1） 设买钾肥x吨，买氮肥y吨，按题意列出约束条件、画出可行域，并求钾肥、氮肥各

买多少才行？

（2） 设点P(x,y)在（1）中的可行域内，求t







时，不等式fxa0恒成立，求实数a的取值范围.3

y20

的取值范围；

x10

（3） 已知A(10,0)，O是原点， P(x,y)在（1

）中的可行域内，求s

围.

的取值范

22．（14分）设A(x1,y1),B(x2,y2)是函数f(x)

1x

的图象上的任意两点. M为log2

21x

1

AB的中点，M的横坐标为.

2

（1） 求M的纵坐标.

（2） 设Snf

1

n12fn1nf，其中nN*，求Sn. n1

2

1

（3） 对于（2）中的Sn，已知anS1，其中nN*，设Tn为数列an的前n项

n

的和，求证

45

Tn. 93

广东实验中学2008—2009学年高一级模块五考试

数 学 答案

命题：伍毅东 审定：翁之英 校对：伍毅东

本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页．满分为150分。考试用时120分钟．

高一下册数学题(三)
高一数学下册公式大全

高一数学公式总结

基本三角函数

一．

二．

 终边落在x轴上的角的集合：

,z

,z  终边落在y轴上的角的集合：

2



,z  终边落在坐标轴上的角的集合：2



l rS

11

l r r222

360度2 弧度1



180.

弧度180

1 弧度180

度

 弧度

tancot1

SinCsc1 正六边形对角线上对应的三角函数之积为1

倒数关系：

CosSec1

用心 爱心 专心 115号编辑 1

tan2

1Sec2

平方关系：SinCos

2

2

11Cot2Csc2

乘积关系：SintanCos ， 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积

三、 诱导公式

 终边相同的角的三角函数值相等

Sin2kSin , kz

Cos2kCos , kz

tan2ktan , kz

 角与角关于x轴对称

SinSin

CosCos

tantan

 角与角关于y轴对称

SinSin

CosCos

tantan

 角与角关于原点对称

SinSin

CosCos tantan

角



2

与角关于yx对称

Sin2Cos

Cos

Sin

2tan

2



cot

用心 爱心 专心 115号编辑

2

Sin2Cos

Cos

2

Sin

tan

2

cot

上述的诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”

四．周期问题 

yASinx , A0 ,   0 , T

2

yACosx , A0 ,   0 , T

2

yASinx , A0 ,   0 , T





yACosx , A0 ,   0 , T





yASinx b , A0 ,   0 , b 0 , T

2



yACosx b , A0 ,   0 , b0 , T

2



yAtanx , A0 ,   0 , T

yAcotx , A0 ,   0 , T





yAtanx , A0 ,   0 , T



yAcotx , A0 ,   0 , T





五. 三角函数的性质

用心 爱心 专心 115号编辑

3

 怎样由ySinx变化为yASinxk ？

用心 爱心 专心 115号编辑

4

振幅变化：yyASinx 左右伸缩变化： yASinx yASin(x) yASin(x)k

六. 平面向量共线定理：一般地，对于两个向量 a,a0,b,如果有



一个实数,使得ba,a0,则b与a是共线向量；反之如果b与a是共线向量 那么又且只有一个实数,使得. 七. 线段的定比分点



当1时 当1时

八. 向量的一个定理的类似推广

 向量共线定理：

推广

b

a a0



其中e1,e2为该平面内的两个

 平面向量基本定理： a1e1 2e2 , 不共线的向量 推广

用心 爱心 专心 115号编辑 5

高一下册数学题(四)
高一数学下期末考试题附答案

高一下数学期末试题

一、选择题

（1）sin750的值等于（ ）（A

（B

（C

（D

0000

（2

（ ）（A）cos220 （B）cos80 （C）sin220 （D）sin80

（3）化简sin(xy)sinxcos(xy)cosx等于（ ）

（A）cos(2xy) （B） cosy （C）sin(2xy) （D）siny （4）下列函数中是周期为的奇函数的为（ ） （A）y12sinx （B）y3sin(2x（5）为了得到函数y3sin【高一下册数学题】

2



x

)（C）ytan（D）y2sin(2x) 32

11

x，xR的图象，只需把函数y3sinx的图象

5522

上所有点（ ）（A）向左平行移动

22个单位长度 （B）向右平行移动个单位长度 55

44

（C）向左平行移动个单位长度 （D）向右平行移动个单位长度

55

（6）已知tan2，tan3，且、都是锐角，则＋等于（ ）

（A）

3353

（B） （C）或 （D）或

444444

（7）已知a＝（2，3），b＝（x，－6），若a∥b，则x等于（ ）

（A）9 （B）4 （C）－4 （D）－9 （8）已知a、b是两个单位向量，下列四个命题中正确的是（ ）

（A）a与b相等 （B）如果a与b平行，那么a与b相等 （C）a·b＝1 （D）a2＝b2



（9）在△ABC中，已知AB＝（3，0），AC＝（3，4），则cosB的值为（ ）

（A）0 （B）

34

（C） （D）1 55

（10）已知|a|＝3，|b|＝4（且a与b不共线），若(ak＋b)⊥(ak－b)，则k的值为（ ）

（A）－

3334

（B） （C）± （D）± 4443B

C

）

（11）已知|a|＝3，b＝（1，2），且a∥b，则a的坐标为（ ）

（A

（D

）





1

，若a·b≥0，则实数x的取值范围为（ ） x

（12）已知向量a＝（1，－2），b＝3,

（A）(0,) （B）(0,] （C）(,0)∪[,)（D）(,0]∪[,) 二、填空题

（13）在三角形ABC中，已知a、b、c是角A、B、C的对边，且a＝6，b＝32，A＝角B的大小为 . （14）已知cosx

23232323



，则4





3

，则sin2x的值为 . 45

（15）若将向量(2,1)绕原点按逆时针方向旋转（16）已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为三、解答题） （17）已知cos



，得到向量，则向量的坐标是 4



，则向量2a－3b与a＋5b的夹角大小为 . 3

123，,

213

，求tan的值.

4

（18）已知函数yAsinx，xR（其中A＞0，＞0，



||＜)的部分图象如图所示，求这个函数的解析式.

2

（19）如图，飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机

的高度为海拔25000米，速度为3000米/分钟，飞行员先在点A看到山顶C的俯角为300，经过8分钟后到达点B，此时看到山顶C的俯角为600，则山顶的海拔高度为多少米.

＝1.414

1.732

＝2.449）. （20）已知|a|＝3，|b|＝2，且3a＋5b与

4a－3b垂直求a与b的夹角.

（21）已知向量a＝（cos

3x3xxx，sin），b＝（cos，－sin），且x[0,]. 22222

（Ⅰ）用cosx表示a·b及|a＋b|；

（Ⅱ）求函数f(x)＝a·b＋2|a＋b|的最小值.

（22）已知向量a、b、c两两所成的角相等，并且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3. （Ⅰ）求向量a＋b＋c的长度； （Ⅱ）求a＋b＋c与a的夹角.

参考答案

二、填空题 （13）

6 （14）725 （15

）(2

32

2,2) （16）2

三、解答题

（17）解：∵cos

12，且

,

3







，∴ sin513

213， 5则 tan512， ∴ tantan11

74＝1tan

＝＝－17.

121（18）解：（Ⅰ）根据题意，可知A＝ 且T

4

＝6－2＝4，所以T＝16，

于是

＝

2T8 将点（2，y8x



，得 82， 即sin

4

＝1， 又||＜2，所以＝4.

从而所求的函数解析式为：y



8

x4，xR

（19）解：如图，过C作AB的垂线，垂足为D，

依题意，AB＝3000·8＝24000米， 由∠BAC＝300，∠DBC＝600，

则∠BCA＝300，∴ BC＝24000米， 在直角三角形CBD中， CD＝BC·sin600

＝24000·0.866＝20784米，

故山顶的海拔高度为25000－20784＝米. （20）解：∵ 3a＋5b与4a－3b垂直，

∴ （3a＋5b）·（4a－3b）＝0， 即 12|a|2＋11a·b－15|b|2＝0，

4216

由于|a|＝3，|b|＝2，∴ a·b＝－

4811

， 则 cosa,b

ab88

|a||b|＝－11， 故a与b的夹角为arccos11

.

（21）解：（Ⅰ）a·b＝cos

3x2cosx2－sin3x2sinx

2

＝cos2x＝2cos2x－1， |a＋b|【高一下册数学题】

＝2|cosx|， ∵ x[0,



2

]，∴ cosx≥0，∴ |a＋b|＝2cosx.

（Ⅱ）f(x)＝a·b＋2|a＋b|＝2cos2x－1＋4cosx＝2(cosx＋1)2－3， ∵ x[0,



2

]，∴ 0≤cosx≤1， ∴ 当cosx＝0时，f(x)取得最小值－1.

（22）解：（Ⅰ）设向量a、b、c两两所成的角均为，则＝0或＝

2

3

， 又|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3. 则当＝0时，

a·b＝|a|·|b|cos＝2， b·c＝|b|·|c|cos＝6， c·a＝|c|·|a|cos＝3，

此时 |a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝14＋22＝36，∴ |a＋b＋c|＝6；当＝

2

3

时， a·b＝|a|·|b|cos＝－1， b·c＝|b|·|c|cos＝－3，

c·a＝|c|·|a|cos＝－3

2

，

此时 |a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝14－11＝3，∴ |a＋b＋c|

（Ⅱ）当＝0，即|a＋b＋c|＝6时，a＋b＋c与a的夹角显然为0； 当＝

23，即|a＋b＋c|

时，∵ （a＋b＋c）·a＝－3

2

，且|a＋b＋c|·|a|

＋b＋c，a>

＝－2，∴ a＋b＋c与a的夹角为5

6

.

cos<a

高一下册数学题(五)
高一数学下知识点

高一下期数学知识点

一．三角恒等变换

1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴cos⑶sin

coscossinsin；⑵coscoscossinsin；

sincoscossin；⑷sinsincoscossin；



tantan

 （tantantan1tantan）；

1tantan

tantan

 （tantantan1tantan）．

1tantan

⑸tan

⑹tan

2、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴

sin22sincos．1sin2sin2cos22sincos(sincos)2

⑵cos2

cos2sin22cos2112sin2

升幂公式1cos2cos2



22

cos211cos22

，sin降幂公式cos2

22

,1cos2sin2



．

2tan

⑶tan2

1tan2

万能公式:

．

αα2tan1tan2

;cosα sinα

αα

1tan21tan2

22

3、（辅助角公式）合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的

yAsin(

x)B形式。sincos，其中tan



． 

二．数列

基本概念

1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. 2.通项公式：如果数列通项公式，即an

an的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的

an的第一项（或前几项），且任何一项an与它的前一项an1（或前几

f(n).

3.递推公式：如果已知数列

f(an1)或anf(an1,an2)，那么这个式子叫做数

列an的递推公式. 如数列an中，a11,an2an1，其中an2an1是数列an的递推

项）间的关系可以用一个式子来表示，即an

公式.

4.数列的前n项和与通项的公式

S1(n1)

①Sna1a2an； ②an.

SS(n2)n1n

5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.【高一下册数学题】

6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.

①递增数列:对于任何nN,均有an1②递减数列:对于任何nN,均有an1③摆动数列:例如: 1,1,1,1,1,. ④常数数列:例如:6,6,6,6,„„. ⑤有界数列:存在正数M使

an.

an.

anM,nN.

anM.

⑥无界数列:对于任何正数M,总有项an使得

等差数列

1.等差数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d，这个数列叫做等差数列，常数d称为等差数列的公差.

2.通项公式与前项和公式

⑴通项公式an

a1(n1)d，a1为首项，d



为公差.

⑵前n项和公式Sn3.等差中项

n(a1an)1

或Snna1n(n1)d.

22

A叫做a与b的等差中项.

即：A是a与b的等差中项2Aaba，A，b成等差数列.

如果a,A,b成等差数列，那么4.等差数列的判定方法 ⑴定义法：an1

and（nN，d是常数）

an是等差数列；

⑵中项法：2an1⑴数列

anan2(nN)an是等差数列.

5.等差数列的常用性质

an是等差数列，则数列anp、pan（p是常数）都是等差数列；

⑵在等差数列an中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an,ank,an2k,an3k,为等

差数列，公差为kd.

⑶an

am(nm)d；ananb(a,b是常数)；Snan2bn(a,b是常数，a0)

⑷若mn

pq(m,n,p,qN)，则amanapaq；

Sn

an的前n项和Sn，则是等差数列；

n

⑸若等差数列

⑹当项数为2n(nN)，则S偶S奇nd,

S偶an1

S奇an

；

当项数为2n1(nN)，则S奇S偶an,

S偶n1

. 

S奇n

等比数列

1.等比数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数q(q

0)，这个数列叫做等比数

列，常数q称为等比数列的公比.

2.通项公式与前n项和公式

⑴通项公式：an

a1qn1，a1为首项，q为公比 .

1时，Snna1

⑵前n项和公式：①当q

a1(1qn)a1anq

②当q1时，Sn. 

1q1q

3.等比中项

如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 即：G是a与b的等差中项a，

4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：

A，b成等差数列G2ab.

an1

q（nN，q0是常数）an是等比数列； an

2

⑵中项法：an1⑴数列

anan2(nN)且an0an是等比数列.

5.等比数列的常用性质

an是等比数列，则数列pan、pan（q0是常数）都是等比数列；

⑵在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an,ank,an2k,an3k,为等

比数列，公比为q.

k

amqnm(n,mN)

⑷若mnpq(m,n,p,qN)，则amanapaq；

⑶an

⑸若等比数列

an的前n项和Sn，则Sk、S2kSk、S3kS2k、S4kS3k是等比数列.

三．平面向量

1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示-----

AB(几何表示法)；

②用字母a、b等表示(字母表示法)； ③平面向量的坐标表示（坐标表示法）：

分别取与x轴、

y轴方向相同的两个单位向量i



、

j作为基底。任作一个向量a，由平面向量基本



定理知，有且只有一对实数

x、y，使得axiyj，(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作

a(x,y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标， 特别地，i(1,0)，

j(0,1)，0

(0,0)aAB

若

则x2

x1,y2y1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

3.零向量、单位向量：

①长度为0的向量叫零向量，记为0；

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.4.平行向量：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；

就是单位向量）

②我们规定0与任一向量平行.向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.

0,b与a同向方向---

性质：a//b(b0)ab(是唯一）0,b与a反向



长度---|a|b

a//b

5.相等向量和垂直向量：

①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ②垂直向量——两向量的夹角为性质：ab

(b0)x1y2x2y10 （其中 a(x1,y1),b(x2,y2)）





2

ab0. abx1x2y1y20 （其中 a(x1,y1),b(x2,y2)）

6.向量的加法、减法：

①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。 平行四边形法则： AC

ab（起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形）

DBab

加法首尾相连

三角形法则

减法终点相连,方向指向被减数

——加法法则的推广：

ABnAB1B1B2„„Bn1Bn

„„an0

即n个向量a1,a2,„„an首尾相连成一个封闭图形，则有a1a2

②向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。即：a b= a+ (b)；

差向量的意义： = a, =b, 则

=a b

③平面向量的坐标运算：若

a(x1,y1)，b(x2,y2)

，则

ab(x1x2,y1y2)

，

ab(x1x2,y1y2)，a(x,y)。

④向量加法的交换律：+=+；向量加法的结合律：(+) +=+ (+) ⑤常用结论： （1）若

AD

1

(ABAC)，则D是AB的中点 2

（2）或G是△ABC的重心，则GAGBGC7．向量的模：

1、定义：向量的大小，记为 |a| 或 |2、模的求法：

若 a(x,y)，则 |a

|若

0

AB|

A(x1,y1),B(x2,y2)， 则 |AB

|2

3、性质： （1）|a|

2

a； |a|b

(b0)|a|2b2 （实数与向量的转化关系）

（2）ab

|a|2|b|2，反之不然

（3）三角不等式：|a||b||ab||a||b| （4）|a

b||a||b| （当且仅当a,b共线时取“=”）

b|a||b|； 即当a,b同反向时 ，ab|a||b|

即当a,b同向时 ，a

（5）平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和，

即2|a|

2

2|b|2|ab|2|ab|2



a



8．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λ（1）|λ

a|=|λ

||a|；

<0时λ

（2）λ>0时λ



a与a方向相同；λ

a与a方向相反；λ

=0时λ



a=；

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