导读: 全国课标数学一卷(共6篇)2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(理科)—新课标1卷2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1理科数学第Ⅰ卷一.选择题:共12小题,每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。21.已知集合Axx2x30,Bx2x2,则AB...
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全国课标数学一卷(一)
2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(理科)—新课标1卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1
理科数学
第Ⅰ卷
一.选择题:共12小题,每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。
2
1.已知集合Axx2x30,Bx2x2,则A
B ( )
A.2,1 B.1,2 C.1,1 D.1,2
1+i2.21-i
3
( )
A.1i B.1i C.1i D.1i
3.设函数fx,gx的定义域都为R,且fx是奇函数,gx是偶函数,则下列结论中正确的是( )
A.fxgx是偶函数 B.fxgx是奇函数 C.fxgx是奇函数 D.fxgx是奇函数
4.已知F为双曲线C:xmy3mm0的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距
2
2
离为( )
A
B.3 C
D.3m
5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A.
1357 B. C. D. 8888
6.如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成
x的函数fx,则yfx在0,的图像大致为( )
yA、
yC、
y
1B、
y1
D、
7.执行右面的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M( ) A.
2071615 B. C. D. 3258
8.设0,A.3
1sin
tan 且,则( ) ,0,,
cos22
2
B.3
2
C.2
2
D.2
2
9.不等式组
xy1,
的解集记为D,有下面四个命题:
x2y4
p1:x,yD,x2y2;p2:x,yD,x2y2 ;
p3:x,yD,x2y3;,p4:x,yD,x2y1;其中的真命题是( )
A.p2,p3 B.p1,p2 C. p1,p4 D.p1,p3
10.已知抛物线C:y28x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若FP4FQ,则QF ( ) A.
75
B.3 C. D.2 22
11.已知函数fxax33x21,若fx存在唯一的零点x0,且x00,则a的取值范围是( )
A.2, B.1, C. ,2 D.,1
12.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为( )
A
. B.6 C
. D.4
第Ⅱ卷
二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。
13.(xy)(xy)的展开式中xy的系数为用数字填写答案) 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市; 乙说:我没去过C城市; 丙说:我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 . 15.已知A,B,C是圆O上的三点,若AO
8
2
7
1
(ABAC),则AB与AC的夹角为. 2
16.已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边,a=2,且
(2b)(sinAsinB)(cb)sinC,则ABC面积的最大值为
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan1Sn1,其中为常数.
(1)证明:an2an;
(2)是否存在,使得{an}为等差数列?并说明理由.
18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:
(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s(同一组数据用该区间的中点值作代表);
(Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(,),其中近似为样本平均数x,近似为样本方差s2. (i)利用该正态分布,求P(187.8Z212.2);
(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求EX.
12.2.
2
若Z~N(,),则P(Z)=0.6826,P(2Z2)=0.9544.
2
2
2
19. (本小题满分12分)如图三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,ABB1C. (Ⅰ) 证明:ACAB1;
(Ⅱ)若ACAB1,CBB160o,AB=BC,求二面角AA1B1C1的余弦值
.
x2y220. (本小题满分12分) 已知点A(0,-2),椭圆E221(ab
0),
abF是椭圆E的右焦点,直线AF
(1)求E的方程;
(2)设过点A的直线l与E相交于P,Q两点,当OPQ的面积最大时,求l的方程.
O为坐标原点. bex1
21. (本小题满分12分)设函数f(x)aelnx,曲线yf(x)在点(1,f(1))处
x
x
的切线为ye(x1)2. (Ⅰ)求a,b; (Ⅱ)证明:f(x)1. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE .(Ⅰ)证明:DE; (Ⅱ)设AD不是三角形.
D
O的直径,AD的中点为M,且MBMC,证明:ADE为等边
23. (本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
全国课标数学一卷(二)
2015年全国统一考试(新课标1卷)理科数学 答案解析
星火国际教育集团
试题类型:A
理科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1+z
1.设复数z满足=i,则|z|=
1z(A)1 (B
(C (D)2 2.sin20°cos10°-con160°sin10°= (A
)11 (B (C) (D)
223.设命题P:nN,n2>2n,则P为 (A)nN, n2>2n (B) nN, n2≤2n (C)nN, n2≤2n (D) nN, n2=2n
4.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为
0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为 (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312
x2
5.已知M(x0,y0)是双曲线C:y21 上的一点,F1、F2是C上的两个焦点,若MF1MF2
2
<0,则y0的取值范围是 (A)(
-
(B)(
(C
)(
) (D
)(
) 6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,
下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有
1
知人善教 培养品质 引发成长动力
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(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛 7.设D为ABC所在平面内一点BC3CD,则
1414ABAC (B) ADABAC 33334141
(C) ADABAC (D) ADABAC
3333
(A) AD
8.函数f(x)=(A)(
),k
的部分图像如图所示,则f(x)的单调递减区间为 (b)(
),k
(C)(),k (D)(),k
9.执行右面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
2
知人善教 培养品质 引发成长动力
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10.(x2xy)5的展开式中,x5y2的系数为
(A)10 (B)20 (C)30 (D)60
11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几 何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积 为16 + 20,则r= (A)1 (B)2 (C)4 (D)8
12.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的 整数x0,使得f(x0)0,则a的取值范围是( )
正视图
俯视图
A.[
333333
,1) B. [,) C. [,) D. [,1)
2e42e42e2e
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题未选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共3小题,每小题5分
13.若函数f(x)=xln(x为偶函数,则a=14.一个圆经过椭圆
的三个顶点,且圆心在x轴上,则该圆的标准方程为 .
x10
![【全国课标数学一卷】](http://img.eol.cn/images/ed/gaokao/wlmqsl/xkbyjsxwd1.jpg)
y
15.若x,y满足约束条件xy0,则的最大值为 .
xxy40
16.在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是 . 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)
Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0,(Ⅰ)求{an}的通项公式: (Ⅱ)设
3
,求数列}的前n项和
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18如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC. (1)证明:平面AEC⊥平面AFC
F
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值
A
C B
19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,···,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值
.
年销售量
年宣传费(千元)
1
表中w1 , ,w =
8
w1
x1
1
(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
(Ⅲ)以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题:
(i) 年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii) 年宣传费x为何值时,年利率的预报值最大? 附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)„„.. (un vn),其回归线v=u的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
4
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(uu)(vv)
i
i
i1
n
(uu)
i
i1
n
,vu
2
20.(本小题满分12分)
x2
在直角坐标系xoy中,曲线C:y=与直线y=kx+a(a>0)交于M,N两点,
4
(Ⅰ)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;
(Ⅱ)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.
21.(本小题满分12分)
1
已知函数f(x)=x3ax,g(x)lnx
4(Ⅰ)当a为何值时,x轴为曲线yf(x) 的切线;
(Ⅱ)用min m,n 表示m,n中的最小值,设函数h(x)minf(x),g(x)零点的个数
5
讨论h(x)(x0) ,
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全国课标数学一卷(三)
2014全国新课标1卷数学文科详解
2014年高招全国课标1 -文科数学解题样卷
一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.
(1)已知集合Mx1x3
, Nx2x1
,则MN( )
A. (2,1) B. (1,1) C. (1,3) D. (2,3)
【参考答案】: 在数轴上表示出对应的集合,可得MN (-1,1),选B
【解题方法】①直接计算②取特值如令x=2代入排除C,D再取x=-1可选B 【规律提炼】:集合的运算用数轴或者Venn图可直接计算 (2)若tan0,则
A. sin0 B. cos0 C. sin20 D. cos20 【参考答案】:由tan0可得:kk
2
(kZ),故2k22 k(kZ),正确的结论只有sin 20. 选C
【解题方法】:①观察计算②特值法如取2250
进行排除 【规律提炼】:判断三角函数的符号可先确定角所在的象限 (3)设z
1
1i
i,则|z| A.
12 B. 22 C. 2
D. 2 【参考答案】:z11
ii12ii11
22
i,z,选B
【解题方法】:求模一般直接法
【规律提炼】
:复数的除法用分母实数化,求复数的模用公式z
(4)已知双曲线x2y2
a2
3
1(a0)的离心率为2,则a A. 2 B.
62 C. 2
D. 1 【参考答案】:
由双曲线的离心率可得a
2,解得a1,选D.
:①把选项中的a值逐一代入检验可得D. ②
利用公式e【解题方法】【规律提炼】:求离心率关键在于寻找a,b或者a,c
之间的关系,用公式ecea
(5)设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是 A. f(x)g(x)是偶函数 B. |f(x)|g(x) 是奇函数 C. f(x)|g(x)| 是奇函数 D. |f(x)g(x)|是奇函数
【参考答案】:设F(x)f(x)g(x),则F(x)f(x)(x),∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴
F(x)f(x)g(x)F(x),F(x)为奇函数,选C.
【解题方法】:①把四个选项逐一分析,②利用性质f(x)奇,|f(x)|为偶,奇奇=偶,奇偶=奇。 【规律提炼】:判断函数的奇偶性先看定义域是否关于原点对称,再用性质或者定义或者图像判断。 (6)设D,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点,则EBFC A. B.
12AD C. 1
2
BC D. 【参考答案】:E
BFCECBCFBBC
E
CFB
=
12AB12AC1
2
ABAC
AD, 选A. 【解题方法】:直接计算 【规律提炼】:向量运算抓住两条线,坐标法和转化法。
(7)在函数①ycos|2x|,②y|cosx| ,③ycos(2x
),④ytan(2x
64
)中,最小正周期为的
所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③
【参考答案】:由ycosx是偶函数可知ycos2xcos2x ,最小正周期为, 即①正确;y | cos
x |的最小正周期也是,即②也正确;ycos
2x6最小正周期为,即③正确;
ytan(2x
4)的最小正周期为T2
,即④不正确.
即正确答案为①②③,选A
【解题方法】:①排除法:第四个的周期为T
2
故排除B,C ②直接计算
【规律提炼】:求函数的周期可画图,也可用定义或公式直接计算
8.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的事一个几何体的三视图,则这个几何体是( ) A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱
【参考答案】:根据所给三视图易知,对应的几何体是一个横放着的三棱柱. 选B
【解题方法】:①筛选法:A.三棱锥三视图均为三角形 C.四棱锥为两个三角形,一个四边形D.四棱柱
为三个四边形②直接法:为一倒放的三棱柱
【规律提炼】:三视图还原成实物图,掌握常见几何体的三视图的特征 9.执行下图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M
=
A.
203 B.165 C.72 D.158
【参考答案】:输入a1,b2,k3;n1时:M1
1232,a2,b3
2
; n2时:M22383,a32,b83;n3时:M3238158,a815
3,b8;
n4时:输出M15
8
. 选D.
【解题方法】:直接逐步计算
【规律提炼】:算法问题根据题目一步一步写出运行的结果 10.已知抛物线C:y2
x的焦点为F,Ax,y是C上一点,AF5
4x0,则x0( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【参考答案】:根据抛物线的定义可知AFx10
45
4
x0,解之得x01. 选A. 【解题方法】:①代入法:把选项中四个x0的值代入可求出A点坐标,进而算出AF ②直接计算:到焦点的距离=到准线的距离
【规律提炼】:抛物线的焦点弦问题注意转化:到焦点的距离和到准线的距离可以互相转化 11.设x,y满足约束条件
xya,
xy1,
且zxay的最小值为7,则a
(A)-5 (B)3 (C)-5或3 (D)5或-3 【参考答案】:画出不等式组对应的平面区域, 如图所示.
在平面区域内,平移直线xay0,可知在点 Aa1a12
,2处,
z 取得最值,故
a12aa1
2
7,解之得a 5或a 3.但a 5时,z取得最大值,故舍去,答案为a 3. 选B. 【解题方法】:①代入法:把选项中四个a的值代入可求出Z的最小值看是否符合题意②直接计算:画出可
行域,把目标直线平移,找到最优解 【规律提炼】:线性规划问题,根据条件画出可行域,把目标直线平移,找到最优解。
(12)已知函数f(x)ax33x2
1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x00,则a的取值 范围是
(A)2, (B)1, (C),2 (D),1
【参考答案1】:由已知a0,f(x)3ax2
6x,令f(x)0,得x0或x
2
a
, 当a0时,x,0,f(x)0;x0,
2a,f(x)0;x2a,
,f(x)0; 且f(0)10,f(x)有小于零的零点,不符合题意。
当a0时,x
,
2a,f(x)0;x2a,0
,f(x)0;x0,,f(x)0 要使f(x)有唯一的零点xx2
2
0且0>0,只需f(a
)0,即a4,a2.选C
【参考答案2】:由已知a0,f(x)=ax33x2
1有唯一的正零点,等价于a3
1x1
x3
有唯一的正零根,令t
1x
,则问题又等价于at33t有唯一的正零根,即ya与yt3
3t有唯一的交点且交点在在y轴右侧,记f(
t)t3
3t
f(t)3t23,由f(t)0,t1,t,1,f(t)0;t1,1,f(t)0;,
t1,,f(t)0,要使at33t有唯一的正零根,只需af(1)2,选C
【解题方法】:①排除法可取a=3可排除A,B,再取a=-1.5可排除D ②数形结合,画图求解 【规律提炼】:函数的零点问题转化为方程有解或者两个函数的图像有交点的问题。
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分
(13)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为________. 【参考答案】设数学书为A,B,语文书为C,则不同的排法共有(A,B,C),(A, C,B),(B,
C,A),(B,A,C),(C,A,B),(C,B,A)共6 种排列总结,其中2 本数学书相邻的情况
有4 种情况,故所求概率为P42
63
.
【解题方法】:①列举法 ②排列组合
【规律提炼】:求解概率问题可用列举法
(14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市; 乙说:我没去过C城市;
丙说:我们三人去过同一城市;
由此可判断乙去过的城市为________.【全国课标数学一卷】
【参考答案】∵丙说:三人同去过同一个城市,甲说没去过B城市,乙说:我没去过C城市
∴三人同去过同一个城市应为A,∴乙至少去过A,若乙再去城市B,甲去过的城市至多两个,不可能比乙多,∴可判断乙去过的城市为A.
【解题方法】:①根据逻辑推理,②可用反证法的思想
ex1,x1,
(15)设函数fx
1则使得fx2成立的x的取值范围是________.
x3,x1,
【参考答案】当x 1时,由e
x1
2可得x 1ln 2,即x ln 21,故x 1;
1当x 1时,由f (x) x3
2可得x 8,故1x 8,综上可得x 8
【解题方法】:①转化为解两个不等式组,最后取并集②画出函数的图像,只要找在直线y=2下方的图像对应的x的求值范围即为不等式的解集。 【规律提炼】:解分段函数的不等式,可以分段解,也可以画出函数图像,用图像解
(16)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得 M点的仰角MAN60,C点的仰角CAB45以及MAC75;从C点测得MCA60.已知山高BC100m,则山高MN________m.
【参考答案】在直角三角形 ABC
中,由条件可得AC,在△MAC 中,由正弦 定理可得
AMACsin600
sin1800600750,
故AMA1C,3在直角△MAN 中,
MNAMsin600150.
【解题方法】:把要求的边化到一个已知的三角形中去求解 【规律提炼】:实际问题的求解,要抽象成数学的解三角形的问题, 结合正余弦定理求解。
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)
已知a2
n是递增的等差数列,a2,a4是方程x5x60的根。
(I)求an的通项公式; (II)求数列
an
2n
的前n项和. 【参考答案】:(I)方程x2
5x60的两根为2,3,由题意得a22,a43,设数列an的公差为 d,,
则a1a3
4a22d,故d=1
2
,从而2,
所以an的通项公式为:a1
n2
n1 (Ⅱ)设求数列an
ann22n
的前n项和为Sn,由(Ⅰ)知2n2n1, 则:S345n1nn
2223242n2
2n1 12S345n1n2n2324252n12
n2 两式相减得 13111n23n42Sn4232
4
2
n12n2414112n1n2
2
n2
所以Sn22n1
【答案分析】:(1)求出a1
22,a43得2分(2)求出a1和d得2分(3)求出an2
n1得2分 (4)写出Sn得1分(5)列出两个相减式得2分(6)算出最后结果得3分
【规律提炼】:(1)求数列的通项用基本量法和方程思想(2)求一般数列的前n项和主要有错位相减法,裂项相消法,分组求和法,分奇偶讨论法等 (18)(本小题满分12分)
从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频数分布表:
(I)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:
(II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); (III)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至
少要占全部产品的80%”的规定? 【参考答案】:(I)
(II)质量指标值的样本平均数为
x800.06900.261000.381100.221200.08100 .
质量指标值的样本方差为
s22020.061020.2600.381020.22202
0.08104…
(Ⅲ)质量指标值不低于95 的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68. 由于该估计值小于0.8,故
不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品80%”的规定. 【答案分析】:(1)列出频率分布表2分(2)画出频率分布直方图2分(3)求出平均数得2分 (4)求出方差得2分(5)算出概率得2分(6)得出结论得2分
【规律提炼】:统计问题要能熟练记住平均数和方差的计算公式,画频率分布直方图时要先画频率分布表,计算概率时经常用频率等同与概率。
19(
本题满分12分)
如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,
B1C的中点为O,且AO平面BB1C1C.
(I)证明:B1CAB;
(II)若ACAB
1,CBB160,BC1,求三棱柱ABCA1B1C1的高.
【参考答案】:(I)连结BC1,则O为BC1与B1C的交点,因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1CBC1,
又AO平面BB1C1C,故B1CAO
B1C平面ABO,由于AB平面ABO,
故B1CAB (II)作OD⊥BC,垂足为D,连结AD,作OH⊥AD,垂足为H, 由于BC⊥AO,BC⊥OD,故BC⊥平面AOD,所以OH⊥BC. 又OH⊥AD,所以OH⊥平面ABC.
因为CBB160,,BC所以△1CBB1为等边三角形,又BC=1,
可得
,由于ACAB111,所以OA2B1C2,由
OH·AD=OD·OA,
且AD
又O为B1C的中点,所以点B1 到平面ABC
,故三棱柱ABC-A1B1C1
【答案分析】:(1)证到B1CBC1得2分(2)证到B1CAO得2分(3)证到B1CAB得2分(4)
说明OH⊥平面ABC得2分(5)算出
OH=
14得2分(6)算出B1 到平面ABC
的距离为7
得2分 【规律提炼】:(1)立体几何中正面线线垂直一般转化为证明线面垂直,而证线面垂直又转化证两条相交直
线垂直即可(2)求几何体的高或者是体积一般等体积法和割补法,本题用割补法更简单。 20.(本小题满分12分)
已知点P(2,2),圆C:x2
y2
8y0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,
O为坐标原点.
(I)求M的轨迹方程;
(II)当OPOM时,求l的方程及POM的面积
【参考答案】:(I)圆C的方程可化为x2
y42
16,所以圆心为 C(0,4),半径为 4.
设M(x,y),则CM(x,y4),MP(2x,2y),,由题设知CMMP0,故
x2xy42y0,即x12y32
2
由于点P 在圆C 的内部,所以M 的轨迹方程是x1
2
y32
2
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知M 的轨迹是以点N(1,3)为圆心, 2 为半径的圆. 由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P 在圆N 上,从而ON⊥PM.
因为ON 的斜率为3,所以l的斜率为
1
3
,直线l的方程为:y183x3
又OMOPO到l
,PM, 所以POM的面积为:
16
5
. 【答案分析】: (1)把圆化成标准方程得2分(2)设点,列出式子CMMP0得2分(3)化简得2分
(4)分析得出ON⊥PM得2分(5)算出直线方程2分(6)算出三角形的面积2分 【规律提炼】:(1)求动点的轨迹方程一般通过题目中的垂直,平行,相等来构造等量关系,找到动点的坐标x和y之间的代数关系式(2)求三角形的面积一般用公式S1
2
底高或者用割补法,分割成几个好求的三角形的面积之和,高一般用点到直线的距离来求解
21(12分)
设函数fxalnx1a2
x2
bxa1,曲线yfx在点1,f1处的切线斜率为0 (I)求b;
(II)若存在xa
01,使得fx0a1
,求a的取值范围。 【参考答案】:(I)f(x)
a
x
(1a)xb,由题设知 f(1)0,解得b 1 (Ⅱ) f (x)的定义域为(0,),由(Ⅰ)知, f(x)alnx1a2
x2
x, f(x)
ax(1a)x11aaxx1a
x1 (i)若a
1a
2,则
1a
1,故当x(1,)时, f '(x) 0 , f (x)在(1,)上单调递增
.
全国课标数学一卷(四)
2015年全国高考数学试卷理科新课标1卷(精校含答案)
理科数学试卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1)设复数Z满足
1Z
=i,则Z 1-Z
(A)1 (B)2 (C) (D)2 (2)sin20cos10cos160sin10 (A)-
113 (B) (C)- (D)
2222
(3)设命题P:nN,n22n,则P为
(A)(B)(C)(D)nN,n22n nN,n22n nN,n22n nN,n2=2n (4)投篮测试中,每人投3次,至少2次命中才能通过测试,已知某同学每次投篮命中的概率为0.6,且各次投篮是否命中相互独立,则该同学通过测试的概率为
(A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312
x2
y21上的一点,F1,F2是双曲线C的两个焦点,(5)已知M(x0,y0)是双曲线C:2
若MF1MF20,则y0的取值范围是 (A)(
332222223
,) (,) (,) (,) (B)(C)(D)33663333
(6)《九章算术》是我国古代极为丰富的数学名著,
书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问:积及米几何?”,其意为:“在屋内角处堆放米(如图,米堆是一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的的体积和米堆放的米各为多少?”已知一斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出米堆的米约为
(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛 (7)设D为ABC所在平面内一点,3,则
1414
ABAC (B)ADAB-AC 33334141【全国课标数学一卷】
(C) (D)
3333
(A)AD
(8)函数f(x)cos(x)的部分图像如图所示,则f(x)的单调减区间为
13,k),kZ 4413
(2k,2k),kZ (B)
4413(k,k),kZ (C)
4413(2k,2k),kZ (D)
44(k(A)
(9)执行右边的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n= (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 (10)(xxy)的展开式中,xy的系数为 (A)10 (B)20 (C)30(D)60 (11)圆柱被一平面截去一部分后与半球
(半径为r) 组成一个几何休,该几何体的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为16+20π,则r=
(A)1 (B)2 (C)4 (D)8
(12)设函数f(x)=e(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0,使得f(x0)0,则a的取值范围是( )
(A)[- -错误!未找到引用源。,1) (B) [- 错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。) (C) [错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。) (D) [错误!未找到引用源。,1)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。
(13)若函数f(x)xln(xax2)为偶函数,则a .
x
2552
x2y2
1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准(14)一个圆经过椭圆
164
方程为 。
x10
y
(15)若x,y满足约束条件xy0,则的最大值为 。
xxy40
A=B=C=75,(16)在平面四边形ABCD中,BC=2,则AB的取值范围是。
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
2
(17)(本小题满分12分)Sn是数列an的前n项和,已知an0,an2an4Sn3
(Ⅰ)求数列an的通项公式; (Ⅱ)设 bn
(18)(本小题满分12分)如图,四边形ABCD是菱形,
1
,求数列{bn}的前n项和. anan1
ABC=1200 ,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE平面ABCD,DF平面ABCD,BE=2DF,AEEC
(Ⅰ)证明:平面AEC平面AFC; (Ⅱ)求直线AE与直线CF所成有的余弦值。
(19)(本小题满分12分)某公司为确定下一年的投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费xi和对年销售量yi(i1,2,,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量
的值,【全国课标数学一卷】
18表中wixi,wwi
8i1
(Ⅰ)根据散点图,判断yabx与ycdx哪一个宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归类型(给出判断即可,不必说明理由);
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y与x的回归方程;
(Ⅲ)已知这种产品年利润z与x,y之间的关系为z=0.2y-x,根据(Ⅱ)的结果回答问题 (i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值为多少? (ii)年宣传费为何值时,年利润的预报值最大?
附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)„„.. (un vn),其回归线v=u的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
(uu)(vv)
i
i
i1
n
(uu)
i
i1
n
,vu
2
x2
(20)(本小题满分12分) 在平面直角坐标系xOy中,曲线C:y与直线
4
交于M,N两点。 l:ykxa(a0)
(Ⅰ)当k0时,分别求C在M点和N点处的切线方程;
(Ⅱ)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有OPM=OPN?说明理由。
(21)(本小题满分12分)已知函数f(x)xax(Ⅰ)当a为何值时,x轴为曲线yf(x)的切线;
(Ⅱ)用minm,n表示m,n中的最小值,设函数h(x)minf(x),g(x)(x0)讨论函数
3
1
,g(x)lnx. 4
h(x)零点的个数。
请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。
(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,AB是圆为的直径,AC是圆O的切线,BC交圆O与点E,
(Ⅰ)若D为AC的中点,证明:DE是圆O的切线; (Ⅱ)若OA3CE,求ACB的大小。
(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中,直线C1x2 ,圆C2:(x1)2(y2)21 ,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为级轴建立极坐标系
(Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程;
(Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为=R),设C2与C3的交点为M,N,求
4
C2MN的面积。
(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
设函数f(x)x2xa,a0。 (Ⅰ)当a1时,求不等式f(x)1的解集;
(Ⅱ)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围。
全国课标数学一卷(五)
2013年高考理科数学全国新课标卷1word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(全国卷I新课标)
注意事项:
1.本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2013课标全国Ⅰ,理1)已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|
x
,则( ).
A.A∩B= B.A∪B=R C.BA D.AB 答案:B
解析:∵x(x-2)>0,∴x<0或x>2. ∴集合A与B可用图象表示为:
由图象可以看出A∪B=R,故选B.
2.(2013课标全国Ⅰ,理2)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为( ).
A.-4 B.
44 C.4 D. 55
答案:D
解析:∵(3-4i)z=|4+3i|,
55(34i)34
i. 34i(34i)(34i)55
4
故z的虚部为,选D.
5
∴z
![【全国课标数学一卷】](http://img.2abc8.com/upload1/20140609/1402275585446292.jpg)
3.(2013课标全国Ⅰ,理3)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( ).
A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样 答案:C
解析:因为学段层次差异较大,所以在不同学段中抽取宜用分层抽样.
x2y24.(2013课标全国Ⅰ,理4)已知双曲线C:22=1(a>0,b>0)
的离心率为,则C的渐近线方
ab2
程为( ).
11
x B.y=x
34
1
C.y=x D.y=±x
2
A.y=答案:C
![【全国课标数学一卷】](http://img.eol.cn/images/ed/gaokao/wlmqsl/xkbyjsxwd3.jpg)
c2a2b25c2
. 解析:
∵e,∴e2
aa24a2
∴a2=4b2,
b1=. a2
∴渐近线方程为y
b1
xx. a2
5.(2013课标全国Ⅰ,理5)执行下面的程序框图,如果输入的t∈[-1,3],则输出的s属于( ).
A.[-3,4] B.[-5,2] C.[-4,3] D.[-2,5] 答案:A
解析:若t∈[-1,1),则执行s=3t,故s∈[-3,3). 若t∈[1,3],则执行s=4t-t2,其对称轴为t=2.
故当t=2时,s取得最大值4.当t=1或3时,s取得最小值3,则s∈[3,4]. 综上可知,输出的s∈[-3,4].故选A.
6.(2013课标全国Ⅰ,理6)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为( ).
500π3866π3
cm B.cm 331372π32048π3C.cm D.cm
33
A.
答案:A
解析:设球半径为R,由题可知R,R-2,正方体棱长一半可构成直角三角形,即△OBA为直角三角形,如图.
BC=2,BA=4,OB=R-2,OA=R, 由R2=(R-2)2+42,得R=5, 所以球的体积为
43500π5π(cm3),故选A. 33
7.(2013课标全国Ⅰ,理7)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=
( ).
A.3 B.4 C.5 D.6 答案:C
解析:∵Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,
∴am=Sm-Sm-1=0-(-2)=2,am+1=Sm+1-Sm=3-0=3. ∴d=am+1-am=3-2=1.
mm1m1
×1=0,∴a1. 22
m1
m3. 又∵am+1=a1+m×1=3,∴2
∵Sm=ma1+
∴m=5.故选C.
8.(2013课标全国Ⅰ,理8)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).
A.16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π 答案:A
解析:由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体,由图中数据可知圆柱底面半径r=2,长为4,在长方体中,长为4,宽为2,高为2,所以几何体的体积为πr2×4×
9.(2013课标全国Ⅰ,理9)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=( ).
A.5 B.6 C.7 D.8 答案:B
m
解析:由题意可知,a=Cm2m,b=C2m1,
1
+4×2×2=8π+16.故选A. 2
+1
展开
又∵13a=7b,∴13即
2m!2m1!
, =7
m!m!m!m1!
132m1
.解得m=6.故选B. 7m1
x2y2
10.(2013课标全国Ⅰ,理10)已知椭圆E:22=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E
ab
于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( ).
A.
x2y2x2y2
4536=1 B.3627=1 C.x227y218
=1 D.x2y2
189=1
答案:D
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),∵A,B在椭圆上,
x22
1y1∴a2b2
1,①x2y2
22a2b2
1,②①-②,得
x1x2x1x2y1y2a2y1y2
b2=0,
b2
即y1y2y1y2a2=xx
, 12x1x2∵AB的中点为(1,-1),∴y1+y2=-2,x1+x2=2,
而y1y2
x=k=
011b21AB=,∴2=. 1x2
312a2又∵a2-b2=9,∴a2=18,b2=9.
∴椭圆E的方程为
x218y2
9
=1.故选D. 11.(2013课标全国Ⅰ,理11)已知函数f(x)=x22x,x0,
x1),x0.
若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是(ln(A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0] 答案:D
解析:由y=|f(x)|的图象知:
①当x>0时,y=ax只有a≤0时,才能满足|f(x)|≥ax,可排除B,
C. ②当x≤0时,y=|f(x)|=|-x2+2x|=x2-2x. 故由|f(x)|≥ax得x2-2x≥ax.
当x=0时,不等式为0≥0成立. 当x<0时,不等式等价于x-2≤a. ∵x-2<-2,∴a≥-2. 综上可知:a∈[-2,0].
).
12.(2013课标全国Ⅰ,理12)设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,△AnBnCn的面积为Sn,n=1,2,3,….若b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=
A.{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列
C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列 答案:B
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.(2013课标全国Ⅰ,理13)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t=__________.
答案:2
解析:∵c=ta+(1-t)b, ∴b·c=ta·b+(1-t)|b|2.
又∵|a|=|b|=1,且a与b夹角为60°,b⊥c, ∴0=t|a||b|cos 60°+(1-t),
0=
cnanban
,cn+1=n,则( ). 22
1
t+1-t. 2
21
an,则{an}的通项公式是an=33
∴t=2.
14.(2013课标全国Ⅰ,理14)若数列{an}的前n项和Sn__________.
-
答案:(-2)n1
21
an,① 33
21
∴当n≥2时,Sn1an1.②
3322
①-②,得ananan1,
33
a
即n=-2. an1
21
∵a1=S1=a1,
33
解析:∵Sn
∴a1=1.
∴{an}是以1为首项,-2为公比的等比数列,an=(-2)n-1.
15.(2013课标全国Ⅰ,理15)设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=__________.
答案:
5
解析:f(x)=sin x-2cos x
xx,
令cos α
sin α
=
则f(x)
α+x),
全国课标数学一卷(六)
2016高考新课标全国1卷数学试题答案
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