高中课程教学集合与函数概念

导读：　高中课程教学集合与函数概念(共5篇)...

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高中课程教学集合与函数概念(一)
集合与函数概念教案

集合与函数概念教案

一 、教学内容分析

《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第44页。-----《实习作业》。本节课程体现数学文化的特色，学生通过了解函数的发展历史进一步感受数学的魅力。学生在自己动手收集、整理资料信息的过程中，对函数的概念有更深刻的理解；感受新的学习方式带给他们的学习数学的乐趣。

二、学生学习情况分析

该内容在《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第44页。学生第一次完成《实习作业》，积极性高，有热情和新鲜感，但缺乏经验，所以需要教师精心设计，做好准备工作，充分体现教师的“导演”角色。特别在分组时注意学生的合理搭配（成绩的好坏、家庭有无电脑、男女生比例、口头表达能力等），选题时，各组之间尽量不要重复，尽量多地选不同的题目，可以让所有的学生在学习共享的过程中受到更多的数学文化的熏陶。

三、设计思想

《标准》强调数学文化的重要作用，体现数学的文化的价值。数学教育不仅应该帮助学生学习和掌握数学知识和技能，还应该有助于学生了解数学的价值。让学生逐步了解数学的思想方法、理性精神，体会数学家的创新精神，以及数学文明的深刻内涵。

四、教学目标

1．了解函数概念的形成、发展的历史以及在这个过程中起重大作用的历史事件和人物；

2．体验合作学习的方式，通过合作学习品尝分享获得知识的快乐； 3．在合作形式的小组学习活动中培养学生的领导意识、社会实践技能和民主价值观。

五、教学重点和难点

重点：了解函数在数学中的核心地位，以及在生活里的广泛应用； 难点：培养学生合作交流的能力以及收集和处理信息的能力。

六、教学过程设计

【课堂准备】

1．分组：4～6人为一个实习小组，确定一人为组长。教师需要做好协调工作，确保每位学生都参加。

2．选题：根据个人兴趣初步确定实习作业的题目。教师应该到各组中去了解选题情况，尽量多地选择不同的题目。

参考题目：（1）函数产生的社会背景；（2）函数概念发展的历史过程；（3）

函数符号的故事；（4）数学家（如：开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹、贝努利、欧拉、柯西、狄里克雷、罗巴契夫斯基等）与函数；（5）也可自拟题目 3．分配任务：根据个人情况和优势，经小组共同商议，由组长确定每人的具体任务。

4．搜集资料：针对所选题目，通过各种方式（相关书籍----《函数在你身边》、《世界函数通史》、《世界著名科学家传记》等；相关网页---WWW.pep.com.cn、/cz/tbjak/qnj/bsdb8njsxxc/

200605/43459.html等）搜集素材，包括文字、图片、数据以及音像资料等，并记录相关资料，写出实习报告。

5．投影仪、多媒体；

6．把各组的实习报告，贴在班级的学习栏内，让学生学习交流。 【教学过程】

1．出示课题：交流、分享实习报告

2．交流、分享：（由数学科代表主持。小组推荐中心发言人；以下记录均为发言概述）

（1）学生1：函数小史

数学史表明，重要的数学概念的产生和发展，对数学发展起着不可估量的作用。有些重要的数学概念对数学分支的产生起着奠定性的作用。我们刚学过的函数就是这样的重要概念。在笛卡尔引入变量以后，变量和函数等概念日益渗透到科学技术的各个领域。最早提出函数（function）概念的，是17世纪德国数学家莱布尼茨。最初莱布尼茨用“函数”一词表示幂。1755年，瑞士数学家欧拉把给

出了不同的函数定义。中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1895年）一书时，把“function”译成“函数”的。 我们可以预计到，关于函数的争论、研究、发展、拓广将不会完结，也正是这些影响着数学及其相邻学科的发展。 （2）教师带头鼓掌并简单评价

（3）学生2： 函数概念的纵向发展 ：

该同学从早期函数概念——几何观念下的函数到十八世纪函数概念——代数观念下的函数讲述了函数概念的发展。其中包括18世纪中叶著名的数学家欧拉对函数概念发展的贡献。接着又讲述了十九世纪函数概念——对应关系下的函数。以及现代函数概念——集合论下的函数。函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式。 （4）教师带头鼓掌并简单评价 （5）学生3：我国数学家李国平与函数

学生3描述了数学家中国科学院数学物理学部委员．李国平（1910—1996），的身世和他的成长历程。李国平1933年毕业于中山大学数学天文系。后历任中国科学院数学计算技术研究所所长，中国科学院武汉数学物理研究所所长，中国数学会理事，中国科学院学部委员等职务。学生还通俗地讲述了李国平先生在微分方程复变函数论领域的卓越贡献。 （6）教师带头鼓掌并简单评价

（7）学生4：函数概念对数学发展的影响

该学生从历史上重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的事实出发，讲述了函数概念对数学发展的深刻影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作用．

函数概念来源于代数学中不定方程的研究．由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽．该学生说道，早在函数概念尚未明确提出以前，数学家已经接触并研究了不少具体的函数，比如对数函数、三角函数、双曲函数等等．1673年前后笛卡儿在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义．

从以上函数概念发展的全过程中，我们体会到，联系实际、联系大量数学素材，研究、发掘、拓广数学概念的内涵是何等重要．

（8）教师带头鼓掌并简单评价 （9）学生5：函数概念的历史演变过程

该学生说，数学的抽象完全舍弃了事物的质的内容，而仅仅保留了它们的量的属性，即数学抽象的目的只是数量关系和空间形式．这就决定了数学与其它自然科学的区别，也决定了数学的特殊性．如果在两个集合元素之间存在有确定的对应关系，就称为是一个映射．

上述函数概念的历史演变过程，就是一系列弱抽象的过程．学生展示了下表：

3．课堂小结：

4．实习作业的评定：

七、教学反思

实习作业是新课程的一个亮点。是培养学生的团队精神，体验合作学习的方式的重要途径。但事实上，实习作业很容易被教师所忽视，所以想通过该教学设计引起教师们的重视。在高一刚开始的时候，如何做好第一次实习作业，是很关键的。就我们学校条件和学生情况，完全可以做好实习作业的，事实证明学生做得很好。可以通过这次实习作业，让学生体验合作学习的方式，通过合作学习品尝分享获得知识的快乐。再者，通过对数学家的了解，感受数学家的精神，增加学好数学的信心，为今后的学习打下好的基础。

福鼎市第一中学 曹齐平

点 评

该教学设计具有一定的创新性，在教师的引导下，以学生合作学习的模式，探讨函数概念的形成、发展的历史以及在这个过程中起重大作用的历史事件和人物。通过学生的自主学习、探究活动，学生经历收集信息，整理资料，并从中提取有用信息的过程，让学生体验数学知识发现和创造的历程，对于提高学生的数学表达和交流的能力具

高中课程教学集合与函数概念(二)
《普通高中课程标准实验教科书·数学1》第一章“集合与函数概念”简介

《普通高中课程标准实验教科书·数学1》第一章“集合与函数概念”简介 本章学生将学习集合与函数概念的基础知识。

集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容。本章中只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力。

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言来刻画函数，函数的思想方法将贯穿于高中数学课程的始终。

一、内容和课程学习目标

本章中，学生将学习集合与函数概念。通过本章的学习，应当使学生：

1．了解集合的含义与表示，理解集合间的关系和运算，感受集合语言的意义和作用。

2．进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，会用集合与对应的语言描述函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。

3．了解函数的构成要素，会求简单函数定义域和值域，会根据实际情境的不同需要选择恰当的方法表示函数。

4．通过已学过的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性的含义，会用函数图象理解和研究函数的性质。

5．根据某个主题，收集17世纪前后发生的一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物（开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹、欧拉等）的有关资料，了解函数概念的发展历程。

二、内容安排

本章共安排了3个小节，1个实习作业和3个选学内容，教学时间约需13课时，大体分配如下（仅供参考）：

1.1 集合约4课时

阅读与思考 集合中元素的个数

1.2 函数及其表示 约4课时

阅读与思考 函数概念的发展历程

1.3 函数的基本性质约3课时

信息技术应用 用计算机画函数图象

实习作业约1课时

小结约1课时

本章知识结构如下：

1．集合语言是现代数学的基本语言。在高中数学课程中，它也是学习、掌握和使用数学语言的基础，因此把它安排在了高中数学的起始章．教科书从学生熟悉的集合（有理数的集合、直线或圆上的点集等）出发，结合学生身边的实例引出元素、集合的概念，介绍了表示集合的列举法和描述法及Veen图；类比实数间的相等、大小关系，通过对具体实例共性的分析、概括出了集合间的相等、包含关系；针对具体实例，通过类比实数间的加法运算引出了集合间“并”的运算，并在此基础上进一步扩展，介绍了“交”的运算和“补”的运算。这里采用类比方式处理集合间的关系和运算的目的在于体现知识之间的联系，渗透数学学习的方法。

与以往相比，教科书对函数概念的处理方式发生了很大的变化。改变了以往先映射后函数的顺序，直接通过三个背景实例，在问题的引导下分析概括出运用集合与对应语言描述的函数定义。这样，既衔接了初中阶段将函数看成变量之间的依赖关系的认识，又进一步提升到用集合与对应的语言来刻画函数。为了理解函数概念的本质，教科书从函数的三要素、函数的符号、函数表示法三个角度对函数概念进行细化，最后将函数概念推广到了映射。这样处理的目的是将重点放在对函数概念本质的理解上。教科书在不同的时机为学生提供了进行判断、练习、比较、讨论交流的机会，以便使学生通过主动思考与动手操作更好地理解函数概念。

在函数的表示法中，教科书选取了两个贴近学生生活的实例（高一学年三位同学的数学成绩问题，汽车票价问题），展示了如何在实际情境中根据不同的需要选择恰当的表示方法，并结合相关内容介绍了分段函数及其应用。

在讨论函数性质时，教科书通过问题，引导学生经历了“三步曲”：

第一步，观察具体函数的图象，描述图象特征；

第二步，结合相应的数值表，用日常描述性语言描述函数特征；

第三步，引进数学符号，用形式化语言描述函数性质。

希望通过这样的安排，帮助学生更好地认识函数的性质，并体会从直观到抽象的过程。在这个过程中，教科书为学生提供了实际操作、自我探究的机会，例如由学生亲自给出函数最小值的定义等。

函数概念是数学中的基本概念之一，它的发展成熟经历了漫长的岁月，融入了众多数学家的智慧。教科书在本章末安排了关注于函数概念的发展及在此过程中起重大作用的历史事件和人物的实习作业，让学生通过自己的实践和与他人的合作共同了解函数概念的发展历程，感受数学文化。

三、编写本章时考虑的几个问题

1．利用丰富的背景实例创设问题情境，引导学生理解抽象的数学概念。

本章学习的数学知识都是基础性知识，它们的使用贯穿了整个高中数学的学习，而它们又具有较高的抽象性，如函数、函数的单调性等概念。每一个抽象概念的产生与发展总有它的现实或数学理论发展的需要，强调概念产生发展的背景，联系学生原有的认知基础，有利于学生理解抽象概念的内涵。因此，教科书就本章数学概念的特点选取了具有时代特点、贴近学生实际的事例创设情境。例如在引入元素和集合时，教科书安排了8个实例，既包括学生熟悉的“1～20以内的质数”“所有的正方形”等例子，又有与生活密切相关的“新华中学2004年9月入学的高一学生的全体”等例子；在引入函数一般概念时，选取了生活中的实例：炮弹的高度与时间的关系、南极臭氧空洞面积从1979年到2001年变化的图象、“八五”以来我国城镇居民恩格尔系数变化数据表；在介绍函数基本性质时，教科书运用了学生熟悉的二次函数、一次函数的图象和数值表。在这些背景实例中，教科书在每一次知识的转折点上，都力求提出具有启发性、挑战性的问题，引导学生经历观察、思考、探究、交流、反思的过程，逐步获得对抽象概念的理解。例如，在函数单调性学习时，教科书在通过对图象观察，获得图象的特征后提出问题：“如何用数学形式化的语言描述函数图象的„上升‟、„下降‟呢？”，根据数值表就二次函数得到文字语言描述后，给出思考问题“对于用函数解析式f(x)=x表示的函数，如何用数学形式化的语言描述„随着x的增大，相应的f(x)随着减小‟、„随着x的增大，相应的f(x)也随着增大‟？”。

丰富的背景实例、恰当的问题串和精辟的分析展现了知识发生发展的过程，反映了从具体到抽象、特殊到一般的原则。对于学生，这些问题串就是他们在学习过程中主动思考、主动探究的“指示牌”，通过层层深入的思考与探究，经历数学知识的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉。

2．重视数学思想方法的渗透，体现数学的文化价值

“科学性”与“思想性”是本套教科书努力创新的一个方面。根据本章数学知识内容的特点，教科书充分渗透了数形结合的思想方法。无论是利用Veen图表示集合的关系和运算，还是从对函数图象特征的描述入手，逐步获得严格的形式化的函数性质的定义，几乎在本章的每一处都充分体现了这一思想方法。并且，教科书还为学生掌握这一思想方法提供了许多机会，期望学生在阅读、思考与运用中逐渐掌握数形结合的方法，感受几何直观对理解抽象概念和解决问题中的作用。

教科书尽最大可能地展示了联想、类比、推广等研究数学问题中常用的逻辑思考的方法。例如通过类比方法的运用，类比数的大小、相等关系引入集合间的包含、相等关系；通过类比数的加法运算引出集合“并”的运算；通过推广函数概念获得了映射概念，等等。教科书中展示逻辑思考方法，可以使学生体会数学思考和探索活动的基本规律，养成良好的思维习惯，形成有条理地、符合逻辑地进行思考、推理、表达与交流的能力。

数学是人类文化的重要组成部分，是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力。本章对数学文化给予了很大的关注，不仅提供了“阅读与思考 函数概念的发展历程”，而且还安排了让学生通过收集资料、阅读思考、合作交流等学习方式完成实习作业，希望学生通过学习本章不仅在数学知识和能力方面得到提高，而且能够感受到数学文化的熏陶，逐步地认识数学的科学价值和人文价值，提高科学文化素养。

3．提供积极思考、自主探索的空间，使学生主动地学习

丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念。学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式。本章在知识内容的呈现上为引导学生的积极思考、自主探索留下了比较充分的空间，采取的主要方法有：

（1）设置具有启发性和挑战性的问题，引发学生的思考和探究。例如：

思考 我们知道，实数有加法运算。类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？

考察下列各个集合，你能说出集合 与集合A，B之间的关系吗？

①A={1，3，5 }，B={2，4，6 }，C={1，2，3，4，5，6 }；

②A={有理数}，B={无理数}，C={实数}。

（2）在适当的时候提出学习要求或预留空白，为学生提供动手实践的机会。例如1.2节的例5的边框中提出如下要求：

是否可以设计一个表格，让售票员和乘客非常容易地知道任两站之间的票价？

（3）通过拓展性栏目，引导学生根据自己的兴趣，翻阅更多的资料，经过阅读自学、

独立思考、讨论交流获取更多的知识。

例如1.1集合中的“阅读与思考 集合中元素的个数”。

四、对教学的几个建议

1．把集合作为一种语言来学习

根据标准的要求，高中数学课程只将集合作为一种语言来学习。因此，学习集合初步知识的目的主要在于能使用最基本的集合语言表示有关数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力。在教学中，可以将集合语言与自然语言及图形语言进行比较，并注意创设让学生使用集合语言进行表达和交流的丰富情境和机会，特别是在学习集合间的关系和运算时，要重视使用Venn图，以便学生在实际使用中逐渐熟悉自然语言、集合语言、图形语言的各自特点，并能根据实际需要进行相互转换，从中感受集合语言的意义和作用。例如利用问题“在平面直角坐标中，集合

就表示直线y=x

，从这个角度看，集合

表示什么？集合C、D之间有什么关系吗？请分别用集合语言和几何语言

说明这种关系”，可以使学生体会集合语言表达数学内容的特点，在不同语言的转换中感受集合语言的作用。在教学时，可以充分利用教科书提供的机会或开发一些情境，逐渐发展学生使用集合语言进行交流的能力。

2．函数概念的处理方式

与以往相比，本章发生变化最大的就是函数概念的处理方式，在教学时，应给予充分的重视。从“先讲映射后讲函数”转变为“先讲函数后讲映射”的主要理由在于这样可以使学生更好地理解函数概念的本质。其一，在初中函数学习基础上继续深入学习函数，衔接自然，利于学生在原有认知基础上提升对函数概念的理解；其二，单刀直入进入函数概念的学习更有利于学生将注意力放在理解函数概念本质上，而不必花大量精力学习映射、认识映射与函数间的关系后才能理解函数概念。从丰富的具体事例中概括函数的本质特征，得出函数概念，体现了从具体到抽象的认知规律，有利于学生建立关于抽象的函数概念的背景支持。在教学中，可以多为学生提供丰富的背景实例，也可以让学生自己举出一些函数实例，引导学生通过自己的观察、分析、归纳和概括，获得用集合与对应语言刻画的函数概念。

当然，对函数概念本质的理解并非一次就可以实现的，要通过与初中定义的比较、与其它知识的联系以及不断的应用等才能逐步理解。除了在本章要适当地为学生提供反复理解函数概念的机会外，在后续的学习中，应当通过基本初等函数的学习，引导学生以具体函数为依托，反复地、螺旋上升地理解函数的本质。

3．重视信息技术的使用

考虑到我国不同地区信息技术硬件条件的差异性，以及可用于数学教与学的不同软件各

高中课程教学集合与函数概念(三)
必修1教材分析-第1章集合与函数概念

“集合与函数概念”教材分析

人教A版《普通高中课程标准实验教科书(必修)》数学1是根据教育部颁发的《普通高中数学课程标准（实验）》编写，为高中数学课程5个必修模块中的第一个，是整个高中数学的基础。【高中课程教学集合与函数概念】

全书分为三章，共36课时（约半个学期）。具体内容是：

第1章 集合与函数概念（13课时）；

第2章 基本初等函数（Ⅰ）（14课时）；

第3章 函数的应用（9课时）。

下面主要分析第一章的部分：

一、主要内容

第一章中，教科书先从学生熟悉的集合例子出发引出元素、集合的概念，介绍了表示集合的列举法、描述法及Veen图；然后结合具体实例，运用类比的方法介绍了集合间的关系和运算。在学习集合语言的基础上，教科书利用三个实例（涉及解析式、图形和表格），在问题的引导下归纳出用集合与对应语言给出的函数定义，并且从函数的三要素、符号、表示法三个角度对函数概念作深入考察，最后将函数推广到映射。在介绍函数基本性质时，教科书充分使用了数形结合的方法，从观察具体函数图象特征入手，结合相应的数值表，并提出相应的问题，引导学生从日常描述性语言逐步转化到用数学符号语言形式化地定义函数的性质。

二、教材的特点

(一)展现问题背景，强调数学应用

教材利用丰富的背景实例创设问题情境，引导学生理解抽象的数学概念，帮助学生认识到数学的应用价值。

例如在引入函数一般概念时，教科书选取了丰富的背景实例和应用实例：(P15)的“炮弹射击”问题（解析法表示）中，炮弹的高度与时间的关系、南极臭氧空洞面积从1979年到2001年变化的图象（图象法）、“八五”以来我国城镇居民恩格尔系数变化数据表（列表法）。教师根据情况可以选择其他的引例，如北京教科院基础教育教学研究中心编《高中数学补充教材》中举例：

（1）物体下落的举例s与所用时间t的平方成正比，即s1

2gt2；

（2）少年儿童好奇心指y随着年龄x

岁）的变化规律表：

（31995~2000年的变化情况如图所示：

再如函数表示法中的“笔记本

的价格”、“学生的测试成绩”、“公共汽车票价”问题。

（二）渗透数学思想，关注数

学文化

第一章主要蕴含了数形结合的1950 1960 1970 1980 1990 2000 思想方法。如利用Veen图表示集合

的关系和运算；根据实际问题的数据画图、建立拟和函数的解析式、根据函数的

（2） 图象研究函数的单调性和奇偶性(从对函数图象特征的描述入手，逐步获得严格

的形式化的函数性质的定义)。

例如Veen图的应用：

（1）ABAAB（如图（1）所示）

（2）ABABA（如图（2）所示）

（3）A∩(UB) 与 B∩

(UA) 的图示（如图（3）所示）

图（1） 图（2） 图（3） 教科书充分展示了联想、类比、推广等研究数学问题中常用的逻辑思考的方法。例如通过类比方法的运用，类比数的大小、相等关系引入集合间的包含、相等关系；通过类比数的加法运算引出集合“并”的运算；通过推广函数概念获得了映射概念。

（三）提倡自主探索，改进学习方法

教材为学生自主探索留下了充分的空间。采取的主要方法有：

1．设置“思考”栏目

教科书在每一次知识的转折点上，都提出具有启发性、挑战性的问题，引导学生经历观察、思考、探究、交流、反思的过程，逐步获得对抽象概念的理解。

有些“思考”问题，在课本中“思考”栏目下方就给出答案，如P4“你能用列举法表示不等式x73的解集吗？”下面给出答案：不能，因为这个集合中的元素是列举不完的。但有些“思考”问题，没有给出答案，这就要求老师把握正确结论，例如P5“结合上面实例，试比较用自然语言、列举法和描述法表示集合时，各自的特点和适用的对象。”回答：列举法直观明了，一般适用于元素不太多的有限集，有时规律明显的无限集也可以用列举法表示；描述法抽象概括，一般适用于具有性质P(x)的无限集；自然语言通俗易懂，适用于非数字、字母的物体、图形类。

2．设置“旁白”

在适当的时候提出学习要求或预留空白，为学生提供动手实践的机会。 例如P20．旁白“函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？（函数的概念，是否对于任意一个x，都有唯一的一个y与之相对应）

3．“阅读与思考”

教材设置的“阅读与思考”栏目，是希望引导学生根据自己的兴趣，经过阅读自学、独立思考、讨论交流获取更多的知识。如P13． “集合中元素的个数”，介绍了公式card(AB)card(A)card(B)card(AB).

这个公式还可以推广到三个集合的情形：

card(ABC)card(A)card(B)card(C)card(AB)

card(BC)card(CA)card(ABC)

例如：（2009湖南卷文）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 .

答案：12

分析: 设既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的人数为x，则

3081510x，解得x3，所以只喜爱篮球运动的人数为15312。

（2009陕西卷文）某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 人。

答案：8.

分析:由条件知,每名同学至多参加两个小组,故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学课外探究小组, 设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A,B,C,则card(ABC)0.card(AB)6,card(BC)4，由公式card(ABC)card(A)card(B)card(C)card(AB)card(AC)card(BC)易知36=26+15+13-6-4- card(AC)，故card(AC)=8 ，即同时参加数学和化学小组的有8人。

4.实习作业

三、新教材的变化

1．把集合知识作为一种语言来学习，特别关注用集合语言表示数学对象及其关系，不必在集合的运算、用集合知识解决复杂问题上做文章，避免在细枝末节的问题上（如空集与0、{0}等的区别）过分纠缠。

2．与以往教科书比较，函数概念的处理方式从“先讲映射后讲函数”转变为“先讲函数后讲映射”。在教学中，教师应注意多为学生提供理解函数概念的机会，例如，提供丰富的背景素材，从具体实例的分析上升到抽象概念的理解；多为学生提供从具体问题中抽象出函数模型的机会。至于映射，只要让学生了解一些基本概念就可以，不做过多要求。

特别值得注意的是，在过去的教学中，教师对函数的定义域、值域问题关注过多，从某种程度上冲淡了对函数概念本质的理解，这是需要纠正的。在定义域、值域问题上，教科书只对最基本的函数提出要求，教学中也不要做过多拓展。应当把主要精力放在使学生理解函数的基本概念和函数思想上。掌握好“度”：定义域问题涉及分式、根式，可以适当补充二次不等式的解法；值域问题掌握y2x8x,x[3,3]，（答案：值域为[42,8]），程度好的学生可以改为2

x[a,a1]（答案：若a3，值域为[f(a),f(a1)]；若3a5

2，值域为

若[f(a),8]；5

2值域为[f(a1),8]；若a2a2，，值域为[f(a1),f(a)]；

其中f(a)2a28a，f(a1)2a212a10）。

（三）适当使用信息技术

四、课程教学目标

通过本章的教学，应当使学生：【高中课程教学集合与函数概念】

1．了解集合的含义与表示，理解集合间的关系和运算，感受集合语言的意义和作用。

2．进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，会用集合与对应的语言描述函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。

3．了解函数的构成要素，会求简单函数定义域和值域，会根据实际情境的不同需要选择恰当的方法表示函数。

4．通过已学过的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性的含义，会用函数图象理解和研究函数的性质。

五、教学内容安排

本章共安排了3个小节，1个实习作业和3个选学内容，教学时间约需13课时，具体分配如下（仅供参考）：

1.1 集合 约4课时

阅读与思考 集合中元素的个数

1.2 函数及其表示 约4课时

阅读与思考 函数概念的发展历程

1.3 函数的基本性质 约3课时

信息技术应用 用计算机画函数图象

实习作业 约1课时

小结 约1课时

本章知识结构如下：

六、典型例题

【关于集合的概念与运算】

1.（2009全国卷Ⅰ理）设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝

，全

集U=AB，则集合U(AB)中的元素共有（A）3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个解：AB{3,4,5,7,8,9},AB{4,7,9},∴U(AB)={3,5,8}故选A。

2. (2009安徽卷理）若集合Ax|2x1|3,Bx



1（A）  C）xx1x或2x3 (B) x2x3（

22x10,则3xA∩B是11x2 (D) x1x22

答案：D

1x解：集合A{x|1x2},B{x|x或x3}，∴ABx{|21}1

2 3. （2010广东理数）若集合A={x-2＜x＜1}，B={x0＜x＜2}则集合

A ∩ B= A. {x-1＜x＜1} B. {x-2＜x＜1} C. {x-2＜x＜2} D. {x0＜x＜1}

答案：D

4.（2010浙江理数）设P=｛x︱x<4｝,Q=｛x︱x2<4｝，则

（A）PQ （B）QP （C） P



答案：B

5.（2010辽宁理数）1.已知A，B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3}

，UB∩A={9},则A=

（A）{1,3} (B){3,7,9} (C){3,5,9} (D){3,9}

答案：D

解析：可以用Venn图的方法帮助理解，因为A∩B={3}，所以3∈A，又因为

(U B)∩A={9}，所以9∈A，所以选D。 小结：本题考查了集合之间的关系、集合的交

集、补集的运算，考查了同学们借助于Venn图解

决集合问题的能力。

6.（2010天津文数）

设集合Ax||x-a|<1,xR,Bx|1x5,xR.若AB，则实数a的取值范围是

(A)a|0a6 (B)a|a2,或a4

 RQ （D）Q RP

高中课程教学集合与函数概念(四)
《普通高中课程标准实验教科书·数学1》第一章“集合与函数概念”简介

《普通高中课程标准实验教科书·数学1》第三章“函数的应用”简介

白涛

在本章，学生将在已学过的函数概念、指数函数、对数函数、幂函数的基础上，结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题．同时还将学习利用函数的性质求方程的近似解，了解函数的零点与方程根的联系．

一、内容与课程学习目标

本章学习的主要内容是函数与方程（函数的零点与方程根的关系），函数模型及其应用。本章学习的目标是：

1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．

2．根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法．

3．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．

4．收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用．

二、内容安排

全章共有2节和一个实习作业，另外还有三个选学内容，教学时间约需8课时，大体分配如下（仅供参考）：

3.1 函数与方程 约2课时

阅读与思考 中外历史上的方程求解

信息技术应用 借助信息技术求方程的近似解

3.2 函数模型及其应用 约4课时

信息技术应用 收集数据并建立函数模型

实习作业 约1课时

小结 约1课时

本章知识结构如下：

（1）建立函数模型解决问题的过程

（2）本章知识安排的前后顺序

1．本章的主要内容是方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解、几种不同的函数增长模型、函数模型的应用举例．建立实际问题的函数模型，利用已知函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终，而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的．方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”，建立和运用函数模型中蕴含的“数学建模思想”，是本章渗透的主要数学思想．二分法是本章介绍的主要数学方法．

2．在初中一元二次方程和一元二次函数学习的基础上，教科书通过比较一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象和x轴的交点的横坐标之间的关系，给出了函数的零点的概念，并揭示了方程的根与对应的函数的零点之间的关系．然后，通过探究介绍了判断一个函数在某个给定区间存在零点的方法和二分法．并且，教科书在 “用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔．

3．教科书运用选自投资方案和制定奖励方案两个问题，引出函数模型增长情况比较的问题，接着运用信息技术从数值和图象两个角度比较了指数函数、对数函数、幂函数的增长情况的差异，说明了不同函数类型增长的含义．

4．函数基本模型的应用是本章的重点内容之一．教科书分别以行程问题、人口增长问题、商品定价问题、未成年人的生长发育问题为例，在丰富的实际背景中对不同的变量关系进行了研究，分别介绍了分段函数、指数型函数、二次函数的应用，在这个过程中渗透了拟合的基本思想．

三、编写中考虑的几个问题

1．问题取材广、立意新，以利于增强学生的应用意识

函数模型的应用主要围绕具体问题展开研究，问题的取材与设计是这部分内容的关键．教科书注意结合不同学生的实际，选择大多数学生熟悉的背景，在例题、练习、习题和复习参考题中，针对不同的函数模型，为学生设计了素材广泛、内容新颖的问题，以利于开阔学生的视野，让学生从中体会函数模型应用的广泛性和重要性．在问题的立意上，教科书从函数模型的特点出发，从不同的侧面提出能激发兴趣的问题．例如行程问题是学生接触较多的，但要说明速度与时间关系图中的部分面积的实际含义，对学生来说却是新颖的；以往学生主要是建立路程、速度、时间的关系式，对建立汽车里程表读数与时间的分段函数，却具有新的挑战性．又如人口问题涉及我国的基本国策，教科书的例题要求根据过去一段时间的人口数据，对何时能达到我国现在的人口数量进行预测，学生就容易对预测的结果进行评价，这对激发学生兴趣有好处．又如桶装水的定价问题，将学生置入一个现实环境中，让他们以一个经营者的身份对身边简单的经营问题进行决策，这有利于学生自觉地将所学的知识用于解决实际的问题．再如建立身高与体重的函数模型，由于学生会急于了解自己的身高与体重是否正常，所以能激起他们探求这个函数模型的欲望，将这一问题的解决过程变为主动的探求过程．通过设计一系列这样的问题，将有利于增强学生的应用意识．

2．以函数模型的应用为主线，多视点宽角度地研究问题

本章除了函数模型的应用之外，还要介绍函数与方程的一些关系，以及几种函数模型在增长上的差异．教科书在处理上，以函数模型的应用这一主要内容为主线，以几个重要的函数模型为对象或工具，将各部分内容紧密结合起来，使之成为一个整体．首先依托二次函数模型，通过研究几个具体的二次函数及其相对应的方程，得到方程的根与函数的零点的关系，然后将此结果化归为一般的结论．在此基础上，进一步利用其他函数模型，研究其对应方程的解，将二分法融入函数模型的应用之中．对不同函数模型在增长差异上的研究，教科书依然围绕函数模型的应用这一核心，结合具体实例展开讨论，让学生在应用函数模型的过程中，体验到指数函数、对数函数、幂函数等函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点．有了这些铺垫，再来具体研究函数模型的应用，在内容上层次分明，系统性强，而学生学习的目的也很明确．全章起于函数模型，终于函数模型，函数模型的应用贯穿始终，使看似零散的内容浑然一体，从不同的方面对典型的问题，多视点宽角度地进行了研究．

3．渗透数学思想方法，关注数学文化

本章不仅重视数学与实际的联系，而且还重视数学思想方法的渗透．本章所涉及的数学思想方法主要包括：由实际问题抽象为函数模型这一过程中蕴涵的符号化、模型化的思想；研究函数与方程关系的过程中蕴涵的函数与方程的思想；用二分法求方程近似解的过程中解法的程序框图所蕴涵的算法思想．为体现函数建模思想在解决问题中的作用，教科书结合具体问题，从运用函数模型、比较常见函数模型的特点、介绍典型的函数模型、建立函数模型等多个侧面全面地作了体现．为渗透函数与方程的思想，教科书一方

面对函数的零点与方程的根进行专门研究，另一方面又在求方程的近似解和函数模型的应用中注意函数与方程的联系．算法思想虽然是数学模块3的内容，但考虑到学生学习的螺旋上升、循序渐进的特点，所以在用二分法求方程的近似解时，教科书给出了解法的程序框图，渗透了算法的思想，同时也为选修系列1中框图的学习奠定了基础．

通过教科书来传承古今中外先进的数学文化，介绍数学的发展，反映数学的作用，体现科学的进步，使学生逐步认识数学的科学价值和人文价值，提高科学文化素养，这是本套教科书的一个特色．本章在“阅读与思考”栏目专门介绍了方程求解在中外历史上的发展情况，这不仅给学生认识方程的解提供了更广阔的空间，同时还让学生了解到古今中外不少数学家在方程求解中所取得的成就，特别是可以了解我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献．本章还在函数模型的应用实例和实习作业中，结合教学内容不失时机地介绍了马尔萨斯人口模型和牛顿冷却模型，将数学成果的介绍与学生的学习、实践融为一体，学生通过本章的学习不仅在数学知识和能力方面可以得到提高，而且还能够感受到数学文化的熏陶．

4．重视信息技术应用

如何运用信息技术是本章教科书考虑的一个重要问题．信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响，信息技术工具的使用能为学生的数学学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具．要让学生较为全面地体会函数模型的思想，特别是运用函数模型研究广泛的社会实际，就会遇到数据、图象等方面处理上的困难．在以往，由于缺乏信息技术的支持，使得象求方程近似解这样一些更具普遍性的问题的解决寸步难行，象二分法这样一些重要的数学方法难以在教科书中呈现，函数的应用问题也常常局限在一些狭小的范围内，并且研究的问题陈旧，题目人为编造的痕迹明显，不能有效地激发起学生的学习兴趣，更不利于学生分析问题解决问题能力的培养．在本章中，教科书自始至终都充分运用计算器、计算机、数据采集器和传感器等信息技术工具，并在两个不同地方设置了“信息技术应用”栏目，不仅使处理复杂的数据和图象成为可能，还使学生运用信息技术解决本章问题更加得心应手．例如，利用信息技术工具，就可以在不同的范围观察到指数函数、对数函数和幂函数的增长差异．这样，就使学生有机会接触到一些过去难以接触到的数学知识和思想方法，也使教科书在问题的选择上更具广泛性，并更接近真实．学生在学习中，自然会感到耳目一新、亲切自然，并在利用信息技术解决问题的过程中，提高对数学学习的兴趣，加强对数学知识的认识，经历更多的数学建模的过程，增加应用函数模型的机会．

5．重视分析、解决问题能力的培养

比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义，是本章的一个重要内容．但由于指数函数、对数函数和幂函数的增长变化复杂，这就使得学生在研究过程中可能遇到困难．为了解决这一难点，教科书分三个步骤，创设问题情景，并通过恰点恰时而又层层递进的问题串，让学生在不断的观察、思考和探究的过程中，弄清几个函数间的增长差异，并培养分析问题解决问题的能力．第一步，教科书先创设了一个选择投资方案的问题情景，在解决问题的过程中给出了解析式、数表和图象三种表示，然后提出了三个思考问题，让学生一方面从中体会直线上升和指数爆炸，另一方面也学会如何选择恰当的表示形式对问题进行分析．第二步，教科书又创设了一个选择公司奖励模型的问题情景，让学生在观察和探究的过程中，体会到对数增长模型的特点．第三步，教科书提出了三种函数存在怎样的增长差异的问题．先让学生从不同角度观察指数函数和幂函数的增长图象，从中体会二者的差异；再通过两个探究问题，让学生对幂函数和对数函数的增长差异，以及三种函数的衰减情况进行自主探究．这样的安排可以引导学生积极地开展观察、思考和探究活动，对分析问题、解决问题能力的培养将有积极的推动．

四、对教学的几个建议

1．注意由浅入深、循序渐进地建立函数与方程的关系

对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则．分三步来展开这部分的内容．第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形．第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质研究方程的解，体现函数与方程的关系．第三步，在函数模型的应用过程中，通过建立函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系逐步建立起函数与方程的联系．

2．注意函数与实际问题的联系，体现数学建模的思想

我们生活在一个充满变化的多彩世界，其中存在大量问题可以通过体现变量关系的函数模型得到解决，这就为函数的应用的教学提供了大量的实际背景．在本章中，实际问题情境贯穿于教科书的始终，无论是对几种不同增长的函数模型的研究，还是对函数模型的应用举例的学习，都是在解决实际问题的过程中进行的，全章大多数内容都是围绕实际问题的讨论而展开的，反映了函数与现实之间的关系，能提高学生对函数是解决现实问题的一种重要数学模型的认识．

利用函数模型解决实际问题是数学应用的一个重要方面．教材一方面注意让学生认识常见函数模型的特点，另一方面还注意选择贴近学生生活实际的各种问题，引导学生用已学过的函数模型分析和解决它们，使函数的学习与实际问题紧密联系，并在解决问题的过程中将数学模型的思想逐步细化，从更高的层面上认识函数与实际问题的关系．

3．注意以函数模型的应用为主线，带动相关知识的展开

本章除了函数模型的应用之外，还要介绍函数的零点与方程的根的关系，用二分法求方程的近似解，以及几种不同增长的函数模型．教科书在处理上，以函数模型的应用这一内容为主线，以几个重要的函数模型为对象或工具，将各部分内容紧密结合起来，使之成为一个系统的整体．教学中应当注意贯彻教科书的这个意图，是学生经历函数模型应用的完整过程。

4．恰当使用信息技术

本章的教学中应当充分使用信息技术。实际上，本章的一些内容，因为涉及大数字运算、大量的数据处理、超越方程求解以及复杂的函数作图，因此如果没有信息技术的支持，教学是不容易展开的。因此，教学中应当加强信息技术的使用力度。

高中课程教学集合与函数概念(五)
高一数学优秀教案集锦

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1.集合与函数概念实习作业

一、教学内容分析

《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第44页。-----《实习作业》。本节课程体现数学文化的特色，学生通过了解函数的发展历史进一步感受数学的魅力。学生在自己动手收集、整理资料信息的过程中，对函数的概念有更深刻的理解；感受新的学习方式带给他们的学习数学的乐趣。

二、学生学习情况分析

该内容在《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第44页。学生第一次完成《实习作业》，积极性高，有热情和新鲜感，但缺乏经验，所以需要教师精心设计，做好准备工作，充分体现教师的“导演”角色。特别在分组时注意学生的合理搭配（成绩的好坏、家庭有无电脑、男女生比例、口头表达能力等），选题时，各组之间尽量不要重复，尽量多地选不同的题目，可以让所有的学生在学习共享的过程中受到更多的数学文化的熏陶。

三、设计思想

《标准》强调数学文化的重要作用，体现数学的文化的价值。数学教育不仅应该帮助学生学习和掌握数学知识和技能，还应该有助于学生了解数学的价值。让学生逐步了解数学的思想方法、理性精神，体会数学家的创新精神，以及数学文明的深刻内涵。【高中课程教学集合与函数概念】

四、教学目标 1．了解函数概念的形成、发展的历史以及在这个过程中起重大作用的历史事件和人物；

2．体验合作学习的方式，通过合作学习品尝分享获得知识的快乐；

3．在合作形式的小组学习活动中培养学生的领导意识、社会实践技能和民主价值观。

五、教学重点和难点

重点：了解函数在数学中的核心地位，以及在生活里的广泛应用；

难点：培养学生合作交流的能力以及收集和处理信息的能力。

六、教学过程设计

【课堂准备】

1．分组：4～6人为一个实习小组，确定一人为组长。教师需要做好协调工作，确保每位学生都参加。

2．选题：根据个人兴趣初步确定实习作业的题目。教师应该到各组中去了解选题情况，尽量多地选择不同的题目。

参考题目：（1）函数产生的社会背景；（2）函数概念发展的历史过程；（3）函数符号的故事；（4）数学家（如：开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹、贝努利、欧拉、柯西、狄里克雷、罗巴契夫斯基等）与函数；（5）也可自拟题目

3．分配任务：根据个人情况和优势，经小组共同商议，由组长确定每人的具体任务。

4．搜集资料：针对所选题目，通过各种方式（相关书籍----《函数在你身边》、《世界函数通史》、《世界著名科学家传记》等；相关网页---WWW.pep.com.cn、

/cz/tbjak/qnj/bsdb8njsxxc/

200605/43459.html等）搜集素材，包括文字、图片、数据以及音像资料等，并记录相关资料，写出实习报告。

实习报告 年 月 日

6．把各组的实习报告，贴在班级的学习栏内，让学生学习交流。

【教学过程】

1．出示课题：交流、分享实习报告

2．交流、分享：（由数学科代表主持。小组推荐中心发言人；以下记录均为发言概述）

（1）学生1：函数小史

数学史表明，重要的数学概念的产生和发展，对数学发展起着不可估量的作用。有些重要的数学概念对数学分支的产生起着奠定性的作用。我们刚学过的函数就是这样的重要概念。在笛卡尔引入变量以后，变量和函数等概念日益渗透到科学技术的各个领域。最早提出函数（function）概念的，是17世纪德国数学家莱布尼茨。最初莱布尼茨用“函数”一词表示幂。1755年，瑞士数学家欧拉把给出了不同的函数定义。中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1895年）一书时，把“function”译成“函数”的。 我们可以预计到，关于函数的争论、研究、发展、拓广将不会完结，也正是这些影响着数学及其相邻学科的发展。

（2）教师带头鼓掌并简单评价

（3）学生2： 函数概念的纵向发展：

该同学从早期函数概念——几何观念下的函数到十八世纪函数概念——代数观念下的函数讲述了函数概念的发展。其中包括18世纪中叶著名的数学家欧拉对函数概念发展的贡献。接着又讲述了十九世纪函数概念——对应关系下的函数。以及现代函数概念——集合论下的函数。函数概念的定义经过三百多年的锤炼、

变革，形成了函数的现代定义形式。

（4）教师带头鼓掌并简单评价

（5）学生3：我国数学家李国平与函数

学生3描述了数学家中国科学院数学物理学部委员．李国平（1910—1996），的身世和他的成长历程。李国平1933年毕业于中山大学数学天文系。后历任中国科学院数学计算技术研究所所长，中国科学院武汉数学物理研究所所长，中国数学会理事，中国科学院学部委员等职务。学生还通俗地讲述了李国平先生在微分方程复变函数论领域的卓越贡献。

（6）教师带头鼓掌并简单评价

（7）学生4：函数概念对数学发展的影响

该学生从历史上重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的事实出发，讲述了函数概念对数学发展的深刻影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作用． 函数概念来源于代数学中不定方程的研究．由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽．该学生说道，早在函数概念尚未明确提出以前，数学家已经接触并研究了不少具体的函数，比如对数函数、三角函数、双曲函数等等．1673年前后笛卡儿在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义．

从以上函数概念发展的全过程中，我们体会到，联系实际、联系大量数学素材，研究、发掘、拓广数学概念的内涵是何等重要．

（8）教师带头鼓掌并简单评价

（9）学生5：函数概念的历史演变过程

该学生说，数学的抽象完全舍弃了事物的质的内容，而仅仅保留了它们的量的属性，即数学抽象的目的只是数量关系和空间形式．这就决定了数学与其它自然科学的区别，也决定了数学的特殊性．如果在两个集合元素之间存在有确定的对应关系，就称为是一个映射．

上述函数概念的历史演变过程，就是一系列弱抽象的过程．学生展示了下表： 早期函数概念

代 数 函 数

函数是这样一个量，它是通过其它一些量的代数运算得到的

近代函数概念

映 射 函 数

设M与N是两个集合，f是个法则，若对于m中每一个元素x，由f总有N中唯一确定元素y与之对应，则f是定义在M上的一个函数．

在认识自然、改造自然的过程中不断遇到：在数量上描述一些现象的几个不同的量是紧密地互相联系的，一个量完全决定于其它量的值，即通过其它量值的一些代数运算

18世纪函数概念

解 析 函 数

函数是指由一个变量与一些常量通过任何方式形成的解析表达式

19世纪函数概念

变 量 函 数

对于给定区间上的每一个x值，y总有唯一确定的值与之对应，则称y是x的函数．

（10）教师带头鼓掌并简单评价

3．课堂小结：

4．实习作业的评定：

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