导读: 大一轮数学步步高2016(共5篇)2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 9 6 抛物线§9 6 双曲线1.双曲线定义平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 集合P={M|||MF1|-|M...
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大一轮数学步步高2016(一)
2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 9.6 抛物线
9.6 双曲线
1.双曲线定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a、c为常数且a>0,c>0. (1)当P点的轨迹是双曲线; (2)当P点的轨迹是两条射线; (3)当P点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质
[巧设双曲线方程
x2y2x2y2
(1)与双曲线-=1 (a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示为-t (t≠0).
ababx2y2
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为1 (mn<0).
mn【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( × ) x2y2
(2)方程1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( × )
mn
x2y2x2y2xy
(3)-=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是0,即0.( √ )
mnmnmn(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于2.( √ )
x2y2x2y211
(5)若双曲线-=1(a>0,b>0)与1(a>0,b>0)的离心率分别是e1,e2,+=1(此
abbae1e2结论中两条双曲线称为共轭双曲线).( √
)
x2y2
1.若双曲线-=1 (a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率
ab为( ) 5 2 答案 A
解析 由题意得b=2a,又a2+b2=c2,∴5a2=c2. c2
∴e=5,∴e=5.
a
2
B.5 D.2
x2y2
2.设双曲线-1 (a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为( )
a9A.4 B.3 C.2 D.1 答案 C
3
解析 渐近线方程可化为y=x.
239
2, ∵双曲线的焦点在x轴上,∴a2解得a=±2.由题意知a>0,∴a=2.
x22
3.(2013·福建)双曲线y=1的顶点到其渐近线的距离等于( )
424545 B. C. D. 5555
答案 C
1225
解析 双曲线的顶点(2,0)到渐近线y=的距离d=25x2y2x2y2
4.已知双曲线C11(a>0,b>0)与双曲线C21有相同的渐近线,且C1的右
ab416焦点为F(5,0),则a=________,b=________. 答案 1 2
x2y2x2y2x2y2
解析 与双曲线1有相同渐近线的双曲线的方程可设为=λ,即=1.
4164164λ16λ1
由题意知c=5,则4λ+16λ=5⇒λ=a2=1,b2=4.
4又a>0,b>0,故a=1,b=2.
5.(2014·北京)设双曲线C的两个焦点为(2,0),2,0),一个顶点是(1,0),则C的方程为________. 答案 x2-y2=1
解析 由题意可知,双曲线的焦点在x轴上, 且c,a=1,则b2=c2-a2=1, 所以双曲线C的方程为x
2-y2=1.
题型一 双曲线的定义及标准方程
例1 (1)与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线,且过点M(2,-2)的双曲线方程为__________. (2)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为____________________. 思维点拨 解(2)时,考虑定义法. y2x2
答案 (1)=1
24y2
(2)x-1(x≤-1)
8
2
x22x22
解析 (1)设与双曲线-y=1-y=k,将点M(2,-2)代入
2222
得k=-(-2)2=-2.
2y2x2
所以双曲线方程为=1.
24
(2)如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2
分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件, 得|MC1|-|AC1|=|MA|, |MC2|-|BC2|=|MB|, 因为|MA|=|MB|,
所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|, 即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2,
所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.
又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小), 其中a=1,c=3,则b2=8.
y2
故点M的轨迹方程为x-1(x≤-1).
8
2
思维升华 求双曲线标准方程的一般方法:
(1)待定系数法:设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出参数a、b、c的方程并求x2y2x2y2
出a、b、c的值与双曲线-=1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为λ (λ≠0).
abab(2)定义法:依定义得出距离之差的等量关系式,求出a的值,由定点位置确定c的值.
x2y2
(1)(2014·天津)已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x
ab
+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为( ) x2y2
-1 5203x23y2
1 25100
x2y2
B.-=1 2053x23y2
D.1 10025
5
(2)设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两个
13焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为( ) x2y2
-=1 43x2y2
C.-=1 34
答案 (1)A (2)A
bb
解析 (1)双曲线的渐近线方程为y=x,因为一条渐近线与直线y=2x+10平行,所以=2.
aa又因为双曲线的一个焦点在直线y=2x+10上, 所以-2c+10=0.所以c=5. b2a=2,a=5,
由得2
b=20.c=a+b=5
x2y2
B.-=1 135x2y2
D.-=1 1312
x2y2
故双曲线方程为1.
520
(2)由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(-5,0),F2(5,0),设曲线C2上的一点P,则||PF1|-|PF2||=8.
由双曲线的定义知:a=4,b=3. x2y2
故曲线C21.
43题型二 双曲线的几何性质
x22
例2 (1)(2013·浙江)如图,F1,F2是椭圆C1+y=1与双曲线C2
4的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是( ) 36
2 B.3
22
x2y2x2y2
(2)(2014·广东)若实数k满足0<k<9,则曲线=1-1的( )
259-k25-k9A.焦距相等 C.虚半轴长相等
B.实半轴长相等 D.离心率相等
思维点拨 (1)依题意可求出a、c的值.
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(2)分别表示出两方程对应的a、b、c的值比较即可. 答案 (1)D (2)A
x2y2
解析 (1)|F1F2|=23.设双曲线的方程为=1.
ab∵|AF2|+|AF1|=4,|AF2|-|AF1|=2a, ∴|AF2|=2+a,|AF1|=2-a. 在Rt△F1AF2中,∠F1AF2=90°, ∴|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2, 即(2-a)2+(2+a)2=(23)2, c36
∴a2,∴e===.故选D.
a22
x2y2
(2)因为0<k<9,所以两条曲线都表示双曲线.双曲线-=1的实半轴长为5,虚半轴长
259-k34-kx2y2
为9-k,焦距为225+9-k=34-k,离心率为.双曲线1的实半轴
525-k925-k,虚半轴长为3,焦距为225-k+9=234-k故两曲线只有焦距相等.故选A.
34-k
, 25-k
大一轮数学步步高2016(二)
2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 6.3 等比数列及其前n项和
6.3 等比数列及其前n项和
1.等比数列的定义
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母__q__表示.
2.等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则它的通项an=an1. -3.等比中项
若G2=a·b_(ab≠0),那么G叫做a与b的等比中项.
4.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=amnmn,m∈N*). -(2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n (k,l,m,n∈N*),则1a(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),a,{a2bn},b仍是等比数n},{an·nn
列.
5.等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn,
当q=1时,Sn=na1;
a11-qna1-anq当q≠1时,Sn=. 1-q1-q
6.等比数列前n项和的性质
公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为__qn__.
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【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.( × )
(2)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.( × )
(3)如果{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.( × )
(4)如果数列{an}为等比数列,则数列{ln an}是等差数列.( × )
(5)等比数列{an}的首项为a,公比为-1,前n项和为Sn,则S2n=0,S2n-1=a.( √ )
1-b5
(6)1+b+b+b+b+b=.( ×
) 1-b2345
1.(2013·江西)等比数列x,3x+3,6x+6,„的第四项等于( )
A.-24 B.0 C.12 D.24
答案 A
解析 由x,3x+3,6x+6成等比数列得,
(3x+3)2=x(6x+6).
解得x1=-3或x2=-1(不合题意,舍去).
故数列的第四项为-24.
2.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10等于( )
A.7 B.5 C.-5 D.-7
答案 D
解析 方法一 由题意得
36a4+a7=a1q+a1q=2, 4529a5a6=a1q×a1q=a1q=-8,
3q3=-2,q=-2,∴或a1=1 1a1=-8,
∴a1+a10=a1(1+q9)=-7. a4+a7=2,方法二 由, aa=aa=-85647a4=-2,a4=4,解得或 a7=4a7=-2.
3q3=-2,q=-2,∴或a1=1 1
a1=-8,
∴a1+a10=a1(1+q9)=-7.
3.(2014·江苏)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是________. 答案 4
解析 因为a8=a2q6,a6=a2q4,a4=a2q2,所以由a8=a6+2a4得a2q6=a2q4+2a2q2,消去a2q2,得到关于q2的一元二次方程(q2)2-q2-2=0,解得q2=2,a6=a2q4=1×22=4.
4.(2013·北京)若等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=________;前n项和Sn=________.
答案 2 2n1-2 +
解析 设等比数列的公比为q,
由a2+a4=20,a3+a5=40.
得20q=40,且a1q+a1q3=20,解得q=2,且a1=2.
a11-qnn+1因此Sn=2-
2. 1-q
题型一 等比数列基本量的运算
例1 (1)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5等于
( )
15313317 C. D.2442
(2)在等比数列{an}中,若a4-a2=6,a5-a1=15,则a3=________.
答案 (1)B (2)4或-4
aq·aq=1,11
3解析 (1)显然公比q≠1,由题意得a11-q 7,1-q
a=4,a=911
解得1或1(舍去), q=q=-32
141-2a11-q31∴S5==. 141-q1-25
3a1q-a1q=6,q22(2)设等比数列{an}的公比为q(q≠0),则4两式相除,得,即2q-5q1+q5a1q-a1=15,3
1+2=0,解得q=2或q=2
1a1=1,所以或1q=2q=. a=-16,2 故a3=4或a3=-4.
思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解.
(1)已知正项数列{an}为等比数列,且5a2是a4与3a3的等差中项,若a2=2,则该数列的前5项的和为( )
33 12
B.31
31 4D.以上都不正确
(2)(2014·天津)设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为________.
1答案 (1)B (2)- 2
解析 (1)设{an}的公比为q,q>0.
由已知得a4+3a3=2×5a2,
即a2q2+3a2q=10a2,q2+3q-10=0,
解得q=2或q=-5(舍去),
又a2=2,
则a1=1,
a11-q51×1-25所以S5==31. 1-q1-2
(2)因为等差数列{an}的前n项和为
nn-1Sn=na1+d, 2
所以S1,S2,S4分别为a1,2a1-1,4a1-6.
因为S1,S2,S4成等比数列,
1所以(2a1-1)2=a1·(4a1-6),解方程得a12
题型二 等比数列的性质及应用
例2 (1)在等比数列{an}中,各项均为正值,且a6a10+a3a5=41,a4a8=5,则a4+a8=________.
S31(2)等比数列{an}的首项a1=-1,前n项和为Sn,若=,则公比q=________. S532
1答案 (1)51 (2)- 2
2解析 (1)由a6a10+a3a5=41及a6a10=a28,a3a5=a4,
2得a24+a8=41.因为a4a8=5,
2所以(a4+a8)2=a24+2a4a8+a8=41+2×5=51.
又an>0,所以a4+a8=51.
S31(2)由a1=-1知公比q≠1, S532
S-S1则可得. S532
由等比数列前n项和的性质知S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,且公比为q5,
11故q5q322
思维升华 (1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m+n=p+q,则am·an=ap·aq”,可以减少运算量,提高解题速度.
(2)在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外,解题时注意设而不求思想的运用.
(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S6∶S3=1∶2,则S9∶S3=________.
(2)在等比数列{an}中,若a1a2a3a4=1,a13a14a15a16=8,则a41a42a43a44=________.
S(3)设数列{an}、{bn}都是正项等比数列,Sn、Tn分别为数列{lg an}与{lg bn}的前n项和,Tn
n,则logb5a5=________. 2n+1
9答案 (1)3∶4 (2)1 024 (3) 19
解析 (1)由等比数列的性质:S3,S6-S3,S9-S6仍成等比数列,于是(S6-S3)2=S3·(S9-S6),
1S3将S6=S3代入得2S34
(2)方法一 a1a2a3a4=a1·a1q·a1q2·a1q3
=a4q6=1,① 1·
a13a14a15a16=a1q12·a1q13·a1q14·a1q15
=a4q54=8,② 1·
a4q5448·②÷①:q=8⇒q16=2, a1·q又a41a42a43a44=a1q40·a1q41·a1q42·a1q43
=a4q166=a4q6·q160 1·1·
46=(a1·q)·(q16)10=1·210=1 024.
方法二 由性质可知,依次4项的积为等比数列,设公比为p,
设T1=a1·a2·a3·a4=1,
T4=a13·a14·a15·a16=8,
∴T4=T1·p3=1·p3=8⇒p=2.
∴T11=a41·a42·a43·a44
=T1·p10=210=1 024.
a·„·aSlga·(3)由题意知=T9lgb1·b2·„·b9
lg a9lg a=lg b5lg b5
9=logb5a5=. 19
题型三 等比数列的判定与证明
大一轮数学步步高2016(三)
2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 9.2 圆的方程
9.2 两直线的位置关系
1.两条直线的位置关系
(1)两条直线平行与垂直
①两条直线平行:
(ⅰ)对于两条不重合的直线l1、l2,若其斜率分别为k1、k2,则有l1∥l2(ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2.
②两条直线垂直:
(ⅰ)如果两条直线l1、l2的斜率存在,设为k1、k2,则有l1⊥l2(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在,而另一条的斜率为0时,l1⊥l2.
(2)两条直线的交点
直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1与l2的交点坐标就是方程组A1x+B1y+C1=0,的解. Ax+By+C=0222
2.几种距离
(1)两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|=x2-x1+y2-y1.
(2)点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离
|Ax+By+C|d=. A+B(3)两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(其中C1≠C2)间的距离d=
[知识拓展]
1.一般地,与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0;与之垂直的直线方程可设为Bx-Ay+n=0.
2.过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0 (λ∈R),但不包括l2.
3.点到直线与两平行线间的距离的使用条件:
(1)求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式.
(2)求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式且x,y的系数对应相等. |C1-C2|A+B
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时,一定有k1=k2⇒l1∥l2.( × )
(2)如果两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.( × )
(3)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数),若直线l1⊥l2,则A1A2+B1B2=0.( √ )
|kx0+b|(4)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 × ) 1+k(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( √ )
1
(6)若点A,B关于直线l:y=kx+b(k≠0)对称,则直线AB的斜率等于-AB的中点k
在直线l上.( √ )
1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( )
A.x-2y-1=0
C.2x+y-2=0
答案 A
解析 ∵所求直线与直线x-2y-2=0平行,
1∴所求直线的斜率为(1,0)点, 2
则直线方程为x-2y-1=0.
2.已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于( ) 2
2-1
答案 C
|a-2+3|解析 =1. 1+1
解得a=-12或a=-12.
∵a>0,∴a=-1+2.
3.已知直线l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8平行,则实数m的值为( )
A.-7 C.-1或-7
答案 A B.-1 13D. 3B.2-2 2+1 B.x-2y+1=0 D.x+2y-1=0
3+m5-3m解析 l1 44
28l2的斜率为-. 5+m5+m
3+m2又∵l1∥l2,由-m2+8m+7=0, 45+m
得m=-1或-7.
5-3m8m=-12,l1与l2重合,故不符合题意; 45+m
5-3m138m=-7≠=-4,符合题意. 425+m
4.已知直线l1与l2:x+y-1=0平行,且l1与l2的距离是2,则直线l1的方程为________________.
答案 x+y+1=0或x+y-3=0
|c+1|解析 设l1的方程为x+y+c=0,则2
∴|c+1|=2,即c=1或c=-3.
∴直线l1的方程为x+y+1=0
或x+y-3=0.
题型一 两条直线的平行与垂直
例1 已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.
(1)l1⊥l2,且l1过点(-3,-1);
(2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.
思维点拨 本题考查两直线平行或垂直成立的充要条件,解题易错点在于忽略斜率不存在的情况.
解 (1)方法一 由已知可得l2的斜率存在,∴k2=1-a.
若k2=0,则1-a=0,a=1.
∵l1⊥l2,直线l1的斜率k1必不存在,即b=0.
4又∵l1过点(-3,-1),∴-3a+4=0,即a=(矛盾). 3
∴此种情况不存在,∴k2≠0.
a即k1,k2都存在,∵k2=1-a,k1,l1⊥l2, b
a∴k1k2=-1,即(1-a)=-1.① b
又∵l1过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0.②
由①②联立,解得a=2,b=2.
方法二 由于l1⊥l2,所以a(a-1)+(-b)·1=0.
即b=a2-a.①
又因为l1过点(-3,-1).
所以-3a+b+4=0.②
a=2,联立①②可得 b=2.
经验证,符合题意.【大一轮数学步步高2016】
故a=2,b=2.
(2)∵l2的斜率存在,l1∥l2,∴直线l1的斜率存在,
ak1=k2,即1-a.③ b【大一轮数学步步高2016】
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等,且l1∥l2,
4∴l1,l2在y轴上的截距互为相反数,即b.④ b
a=a=2,联立③④,解得或3
b=-2 2b=2.
2∴a=2,b=-2或a=,b=2. 3
思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件.
(2)在判断两直线平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
已知两直线l1:x+ysin α-1=0和l2:2x·sin α+y+1=0,求α的值,使得:
(1)l1∥l2;
(2)l1⊥l2.
解 (1)方法一 当sin α=0时,直线l1的斜率不存在,l2的斜率为0,显然l1不平行于l2.
1当sin α≠0时,k1=-,k=-2sin α. sin α2
1要使l1∥l2,需-2sin α, sin α
2即sin α=. 2
π所以α=kπ±k∈Z,此时两直线的斜率相等. 4【大一轮数学步步高2016】
π故当α=kπ±k∈Z时,l1∥l2. 4
方法二 由A1B2-A2B1=0,得2sin2α-1=0,
2π所以sin α=.所以α=kπ±,k∈Z. 24
又B1C2-B2C1≠0,所以1+sin α≠0,即sin α≠-1.
π故当α=kπ±k∈Z时,l1∥l2. 4
(2)因为A1A2+B1B2=0是l1⊥l2的充要条件,
所以2sin α+sin α=0,即sin α=0,所以α=kπ,k∈Z.
故当α=kπ,k∈Z时,l1⊥l2.
题型二 两直线相交
例2 求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点,且垂直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程.
思维点拨 可先求出l1与l2的交点,再用点斜式;也可利用直线系方程求解.
3x+2y-1=0,解 方法一 先解方程组 5x+2y+1=0,
得l1,l2的交点坐标为(-1,2),
35再由l3的斜率求出l的斜率为-, 53
于是由直线的点斜式方程求出l:
5y-2=-(x+1),即5x+3y-1=0. 3
方法二 由于l⊥l3,故l是直线系5x+3y+C=0中的一条,
而l过l1,l2的交点(-1,2),
故5×(-1)+3×2+C=0,由此求出C=-1,
故l的方程为5x+3y-1=0.
方法三 由于l过l1,l2的交点,故l是直线系3x+2y-1+λ(5x+2y+1)=0中的一条, 将其整理,得(3+5λ)x+(2+2λ)y+(-1+λ)=0.
3+5λ51其斜率为-,解得λ 352+2λ代入直线系方程得l的方程为5x+3y-1=0.
思维升华 (1)两直线交点的求法
求两直线的交点坐标,就是解由两直线方程组成的方程组,以方程组的解为坐标的点即为交点.
(2)常见的三大直线系方程
①与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是
Ax+By+m=0(m∈R且m≠C).
大一轮数学步步高2016(四)
2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 4.7 正弦定理、余弦定理
4.7 正弦定理、余弦定理
1.正、余弦定理
在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则
2.S△ABC=absin C=bcsin A=sin B==a+b+c)·r(r是三角形内切圆的半径),并可由
2224R2此计算R、r.
3.在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在△ABC中,A>B必有sin A>sin B.( √ )
(2)若满足条件C=60°,AB=3,BC=a的△ABC有两个,那么a的取值范围是3,2).( √ ) (3)若△ABC中,acos B=bcos A,则△ABC是等腰三角形.( √ ) (4)在△ABC中,tan A=a2,tan B=b2,那么△ABC是等腰三角形.( × )
(5)当b2+c2-a2>0时,三角形ABC为锐角三角形;当b2+c2-a2=0时,三角形为直角三角形;当b2+c2-a2<0时,三角形为钝角三角形.( × )
(6)在△ABC中,AB=3,AC=1,B=30°,则△ABC的面积等于
× ) 2
1.(2013·湖南)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b,若2asin B=3b,则角A等于( )
ππππ B. C. D. 12643答案 D
解析 在△ABC中,利用正弦定理得 2sin Asin B3sin B,∴sin A=π又A为锐角,∴A=3
2.(2013·陕西)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为( ) A.锐角三角形 C.钝角三角形 答案 B
解析 由bcos C+ccos B=asin A,得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,即sin(B+C)=sin2A,所π
以sin A=1,由0<A<π,得A=,所以△ABC为直角三角形.
2
π
3.(2014·江西)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=3则△ABC的面积是( ) A.3 33 2答案 C
解析 ∵c2=(a-b)2+6,∴c2=a2+b2-2ab+6.① ππ
∵C=∴c2=a2+b2-2abcos =a2+b2-ab.②
33由①②得-ab+6=0,即ab=6. 113∴S△ABCabsin C=×6×2222
4.(2014·广东)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知bcos C+ccos B=
3
B.
2D.33 B.直角三角形 D.不确定 32
a
2b,则______.
b答案 2
解析 方法一 因为bcos C+ccos B=2b, a2+b2-c2a2+c2-b2
所以b+c2b,
2ab2aca
化简可得=2.
b
方法二 因为bcos C+ccos B=2b, 所以sin Bcos C+sin Ccos B=2sin B, 故sin(B+C)=2sin B,
a
故sin A=2sin B,则a=2b=
2.
b
题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1 (2013·山东)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos 7B9
(1)求a,c的值; (2)求sin(A-B)的值. 解 (1)由余弦定理得:
a2+c2-b2a2+c2-47
cos B,
2ac2ac914
即a2+c2-4=.
9
14
∴(a+c)2-2ac-4=,∴ac=9.
9
a+c=6,由得a=c=3. ac=9,
7(2)在△ABC中,cos B=,
9∴sin B1-cosB=
2421-9=9.
ab
由正弦定理得:,
sin Asin B
23×
9asin B2
∴sin A=.
b23
π1
又A=C,∴0<A<,∴cos A=1-sinA
23∴sin (A-B)=sin Acos B-cos Asin B =
227142102
×. 393927
思维升华 (1)解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考
虑两个定理都有可能用到.(2)三角形解的个数的判断:已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.
1
(1)(2014·天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=
4
a,2sin B=3sin C,则cos A的值为________.
35
(2)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos A=,cos B=,b=3,则c=
513________.
114
答案 (1)
45
解析 (1)由2sin B=3sin C及正弦定理得2b=3c, 3
即b=.
2
111
又b-c=a,c=,即a=2c.
424
922
c+c-4c2
b+c-a4
由余弦定理得cos A==
2bc32
2×2
2
2
2
3-c241==-3c4
34(2)在△ABC中,∵cos A=,∴sin A=.
55512
∵cos B=>0,∴sin B=.
1313∴sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B 4531256
=×51351365
bc
由正弦定理知=
sin Bsin C563×
6514bsin C
∴c=sin B125
13
题型二 利用正、余弦定理判定三角形的形状
例2 在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C.
(1)求角A的大小;
(2)若sin B+sin C3,试判断△ABC的形状. 解 (1)由2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C, 得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2, b2+c2-a21
∴cos A=,
2bc2∵0°<A<180°,∴A=60°.
(2)∵A+B+C=180°,∴B+C=180°-60°=120°. 由sin B+sin C=3,得sin B+sin(120°-B)3, ∴sin B+sin 120°cos B-cos 120°sin B3. 33
∴Bcos B=3,即sin(B+30°)=1. 22∵0°<B<120°,∴30°<B+30°<150°. ∴B+30°=90°,B=60°.
∴A=B=C=60°,∴△ABC为等边三角形.
思维升华 (1)三角形的形状按边分类主要有:等腰三角形,等边三角形等;按角分类主要有:直角三角形,锐角三角形,钝角三角形等.判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考,主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形,要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.(2)
边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理.
c
(1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A,则△ABC为( )
b
A.钝角三角形 C.锐角三角形
B.直角三角形 D.等边三角形
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Ba+c
(2)在△ABC中,cosa,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为( )
22cA.等边三角形 B.直角三角形
大一轮数学步步高2016(五)
2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 7.1 不等关系与不等式
7.1 不等关系与不等式
1.两个实数比较大小的方法
a-b>0⇔a
(1)作差法a-b=0⇔a (a,b∈R);
a-b<0⇔a
a
(2)作商法b=1⇔a = b
<1⇔abab
2.不等式的基本性质
a
>1⇔ab
(a∈R,b>0).
- 1 -
3.(1)倒数的性质 11
①a>b,ab>0a11
②a<0<b⇒.
abab
③a>b>0,0<c<d⇒.
c111
④0<a<x<b或a<x<b<0⇒bxa(2)有关分数的性质 若a>b>0,m>0,则
bb+mbb-m①;b-m>0). aa+maa-maa+maa-m②;b-m>0). bb+mbb-m【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)a>b⇔ac2>bc2
.( × ) ab
(2)a>b>0,c>d>0⇒>.( √ )
dc11
(3)若ab>0,则a>b √ )
aba
(4)若,则a>b.( × )
b
(5)若a>b>1,c<0,则logb(a-c)>loga(b-c).( √ ) 11
(6)若,则|a|>|b|.( × )
ab
1.(2014·四川)若a>b>0,c<d<0,则一定有( ) ab cd
abB.< cd
- 2 -
ab dc答案 D
abD.<dc
解析 令a=3,b=2,c=-3,d=-2, ab
则1,1, cd所以A,B错误; a3b2, d2c3ab
dc
所以C错误.故选D.
2.设a<b<0,则下列不等式中不成立的是( ) 11 abC.|a|>-b 答案 B
11
解析 由题设得a<a-b<0,所以有成立,
a-ba即
11
a-ba
11B.a-ba-a-b
3.限速40 km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v不超过40 km/h,写成不等式就是____________. 答案 v≤40 km/h
4.已知a1≤a2,b1≥b2,则a1b1+a2b2与a1b2+a2b1的大小关系是________________. 答案 a1b1+a2b2≤a1b2+a2b1 解析 ∵a1b1+a2b2-(a1b2+a2b1) =a1(b1-b2)+a2(b2-b1) =(b1-b2)(a1-a2), ∵a1≤a2,b1≥b2, ∴(b1-b2)(a1-a2)≤0, ∴a1b1+a2b2≤a1b2+a2b1
.
题型一 用不等式(组)表示不等关系
例1 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售,每天可销售100件,现在他采
- 3 -
用提高售价,减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的单价每提高1元,销售量就相应减少10件.若把提价后商品的单价设为x元,怎样用不等式表示每天的利润不低于300元? 解 若提价后商品的单价为x元, x-10
则销售量减少10件,
1
因此,每天的利润为(x-8)[100-10(x-10)]元, 则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式 (x-8)[100-10(x-10)]≥300.
思维升华 对于不等式的表示问题,关键是理解题意,分清变化前后的各种量,得出相应的代数式,然后,用不等式表示.而对于涉及条件较多的实际问题,则往往需列不等式组解决.
已知甲、乙两种食物的维生素A,B含量如下表:
设用甲、乙两种食物各x56 000单位维生素A和62 000单位维生素B,则x,y应满足的所有不等关系为________. x+y≤100,
6x+7y≥560,答案 2x+y≥155,
x≥0,y≥0题型二 比较大小
例2 (1)已知a1,a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是( ) A.M<N C.M=N
B.M>N D.不确定
ln 3ln 4ln 5(2)若a=b=c=( )
345A.a<b<c C.c<a<b 答案 (1)B (2)B
解析 (1)M-N=a1a2-(a1+a2-1) =a1a2-a1-a2+1 =a1(a2-1)-(a2-1) =(a1-1)(a2-1), 又∵a1∈(0,1),a2∈(0,1), ∴a1-1<0,a2-1<0.
- 4 -
B.c<b<a D.b<a<c
∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0. ∴M>N.
b3ln 4
(2)方法一 易知a,b,c都是正数,a4ln 3=log8164<1, 所以a>b;
b5ln 4=log6251 024>1, c4ln 5
所以b>c.即c<b<a. 方法二 对于函数y=f(x)=
1-ln xln x
,y′=, xx易知当x>e时,函数f(x)单调递减. 因为e<3<4<5,所以f(3)>f(4)>f(5), 即c<b<a.
思维升华 比较大小的常用方法 (1)作差法:
一般步骤:①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键是变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,有时也可以先平方再作差. (2)作商法:
一般步骤:①作商;②变形;③判断商与1的大小;④结论.
(3)函数的单调性法:将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值,根据函数单调性得出大小关系.
(1)如果a<b<0,那么下列不等式成立的是( )
11
ab
C.-ab<-a2
B.ab<b2 11D.--
ab
(2)(2013·课标全国Ⅱ)设a=log32,b=log52,c=log23,则( ) A.a>c>b C.c>b>a 答案 (1)D (2)D
解析 (1)对于A项,由a<b<0,得b-a>0,ab>0, 11b-a
故>0, abab11
>,故A项错误; ab
- 5 -
B.b>c>a D.c>a>b
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